14. Неравенства и их системы
Укажите множество решений системы неравенств \(\begin{cases} 2x-6>0,\\ 3x+12>0. \end{cases}\)
1) \(x>4\)
2) \(x>-4\)
3) \(x>3\)
4) \(-4<x<3\)
Преобразуем систему: \[\begin{cases} 2x>6\\ 3x>-12\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad
\begin{cases} x>3\\ x>-4 \end{cases}\] Нужно пересечь полученные решения:
Следовательно, ответ \(x>3\).
Ответ: 3
Укажите множество решений системы неравенств \(\begin{cases} 2-2x<0,\\ x-3<0.\end{cases}\)
1) \(x>1\)
2) \(x<3\)
3) \(1<x<3\)
4) \(x<1\) и \(x>3\)
Преобразуем систему: \[\begin{cases} 2<2x\\ x<3\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad
\begin{cases} x>1\\ x<3 \end{cases}\] Нужно пересечь полученные решения:
Следовательно, ответ \(1<x<3\).
Ответ: 3
Укажите множество решений системы неравенств \(\begin{cases} 3x>4,\\ 5x-6<0.\end{cases}\)
1) \(x<\frac65\)
2) \(\frac65<x<\frac43\)
3) \(x>\frac43\)
4) нет решений
Преобразуем систему: \[\begin{cases} x>\frac43\\[1ex]
x<\frac65\end{cases}\] Нужно пересечь полученные решения. Для этого сравним \(\frac43\) и \(\frac65\): \[\dfrac43\lor\dfrac65\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{20}{15}\lor
\dfrac{18}{15}\] Следовательно, на месте знака \(\lor\) нужно подставить \(>\).
Следовательно, ответ \(\frac65<x<\frac43\).
Ответ: 2
Укажите числа, являющиеся решениями системы неравенств \(\begin{cases} x<3,\\ -7-2x<0.\end{cases}\)
1) \(-4\)
2) \(-2\)
3) \(0\)
4) \(5\)
В ответе укажите номера выбранных ответов в порядке возрастания без запятых, пробелов и других дополнительных символов.
Преобразуем систему: \[\begin{cases} x<3\\
-2x<7\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad
\begin{cases} x<3\\
x>-\frac72\end{cases}\] Нужно пересечь полученные решения:
Следовательно, ответ \(-\frac72<x<3\). Следовательно, из представленных чисел решениями будут \(x=-2; 0\). Ответ 23.
Ответ: 23
Укажите множество решений системы неравенств \(\begin{cases} x<-1,\\
-4-x<0.\end{cases}\)
Преобразуем систему: \[\begin{cases} x<-1\\-4<x
\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad
\begin{cases} x<-1\\x>-4
\end{cases}\] Нужно пересечь полученные решения:
Следовательно, ответ 4.
Ответ: 4
Укажите множество решений системы неравенств \(\begin{cases} 5x+11\leqslant 11x+5,\\ 1,6x<48.\end{cases}\)
1) \((-\infty;1]\)
2) \([1; 30)\)
3) \((-\infty;30]\)
4) нет решений
Преобразуем систему: \[\begin{cases} 11-5\leqslant 11x-5x\\[1ex] x<\frac{48}{1,6}
\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad
\begin{cases} 6x\geqslant 6\\[1ex] x<\frac{480}{16}
\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad
\begin{cases} x\geqslant 1\\ x<30
\end{cases}\] Нужно пересечь полученные решения:
Следовательно, ответ \(1\leqslant x<30\). Выбираем пункт 2.
Ответ: 2
Множество решений какой системы неравенств изображено на рисунке?
1) \(\begin{cases} x+3>4,\\ 4-x>13\end{cases}\)
2) \(\begin{cases} x+3>4,\\ 4-x<13\end{cases}\)
3) \(\begin{cases} x+3<4,\\ 4-x>13\end{cases}\)
4) \(\begin{cases} x+3<4,\\ 4-x<13\end{cases}\)
Из рисунка следует, что \(\begin{cases} x<1,\\ x>-9.\end{cases}\)
Заметим, что во всех предложенных нам системах правые и левые части соответствующих неравенств совпадают, отличаются лишь знаки неравенств.
Преобразуем первую систему: \[\begin{cases} x>1\\x<-9 \end{cases}\] В полученной системе знаки обратные тем, что нам нужны. Следовательно, выберем систему из предложенных четырех с противоположными знаками. Это система 4.
Ответ: 4
