15. Задачи прикладного характера по геометрии
Найдите периметр прямоугольного участка земли, если его площадь 10000 \(\text{м}^2\) и одна сторона в 4 раза больше другой.
Обозначим длину меньшей стороны \(x\). Тогда длина большей — \(4x\). Так как площадь прямоугольника равна произведению его сторон, имеем:
\[4x \cdot x = 10000 \Rightarrow x^2 = 2500 \Rightarrow x= \pm 50.\]
Так как длина не может быть отрицательной \(x=50\) м.
Периметр — сумма длин всех сторон. Он равен \(2(50 + 4\cdot 50) = 500\).
Ответ: 500
Девочка прошла от дома на юг 50 м. Потом она повернула на восток и прошла еще какое-то расстояние. Какое расстояние прошла девочка на восток (в метрах), если она оказалась на расстоянии 130 м от дома?
Угол между направлением “на юг”\(\,\) и направлением “на восток”\(\,\) равен \(90^{\circ}\). Воспользуемся теоремой Пифагора.
Расстояние, которое девочка прошла на юг — катет прямоугольного треугольника. Расстояние, на котором она оказалась, — гипотенуза. Расстояние, которое нужно найти — другой катет.
\[130^2 - 50^2 = 14400\]
Значит, на восток девочка прошла 120 метров.
Ответ: 120
В 32 метрах одна от другой растут 2 сосны. Высота одной из них 37 м, а второй — 13 м. Каково расстояние (в метрах) между их верхушками?
Обозначим \(AF\) — высоту большей сосны, \(BD\) — меньшей.
Расстояние между ними — перпендикуляр \(CD=32\). Отрезок \(CF = 37-13=24\) м. Тогда по теореме Пифагора:
\[FD^2=24^2 + 32^2.\]
Откуда \(FD = 40\) метров.
Ответ: 40
Площадь прямоугольного земельного участка равна 11 га. Ширина участка равна 200 метров. Найдите длину этого участка.
Переведем площадь участка из гектаров в квадратные метры 11 га = 110000 \(\text{м}^2\).
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Значит, длина равна \(110000:200 = 550\) метров.
Ответ: 550
Площадь прямоугольного земельного участка равна 17 га. Ширина участка равна 400 метров. Найдите длину этого участка.
Переведем площадь участка из гектаров в квадратные метры 11 га = 170000 \(\text{м}^2\).
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Значит, длина равна \(170000:400 = 425\) метров.
Ответ: 425
Пол комнаты имеет форму прямоугольника со сторонами 3 м и 6 м. Этот пол нужно покрыть паркетом — прямоугольными дощечками со сторонами 10 см и 25 см. Сколько потребуется дощечек?
Переведем размеры комнаты в сантиметры: 3 м = 300 см, 6 м = 600 см.
Тогда площадь комнаты равна \(300 \cdot 600 = 180000 \, \text{cм}^2\), а площадь дощечки — \(10 \cdot 25 = 250 \, \text{cм}^2\). Чтобы покрыть пол потребуется \(180000:250=720\) дощечек.
Ответ: 720
Плакат имеет форму прямоугольника со сторонами 14 см и 19 см. Его наклеили на белую бумагу так, что вокруг изображения получилась белая рамочка. Площадь постера с рамочкой равна 696 \(\text{cм}^2\). Чему равна ширина рамочки, если она всюду олдинакова?
Обозначим \(x\) ширину рамки. Тогда длина и ширина изображения с рамкой равным соответственно \(19+2x\) и \(14+2x\).
Запишем, чему равна площадь изображения с рамочкой:
\[(19+2x)(14+2x)=696 \Rightarrow 266+66x+4x^2=696 \Rightarrow 2x^2 + 33x - 215=0.\]
Откуда \(D=33^2+8 \cdot 215 = 2809 = 53^2\).
Имеем \(x = \frac{-33 + 53}{4}=5\) и \(x = \frac{-33 - 53}{4}=-21,5\) — не подходит, так как длина не может быть отрицательной.
Значит, ширина рамки равна 5.
Ответ: 5
