15. Задачи прикладного характера по геометрии
Мальчик прошел от дома на восток 80 м. Потом он повернул на север и прошел еще 60 м. На каком расстоянии (в метрах) от дома оказался мальчик в итоге?
Угол между направлением “на север”\(\,\) и направлением “на восток”\(\,\) равен \(90^{\circ}\). Воспользуемся теоремой Пифагора.
Расстояние, которое мальчик прошел — катеты прямоугольного треугольника. Расстояние, которое нужно найти — гипотенуза.
\[80^2 + 60^2 = 10000\]
Значит, он находится на расстоянии 100 метров от дома.
Ответ: 100
Девочка прошла от дома на юг 50 м. Потом она повернула на восток и прошла еще какое-то расстояние. Какое расстояние прошла девочка на восток (в метрах), если она оказалась на расстоянии 130 м от дома?
Угол между направлением “на юг”\(\,\) и направлением “на восток”\(\,\) равен \(90^{\circ}\). Воспользуемся теоремой Пифагора.
Расстояние, которое девочка прошла на юг — катет прямоугольного треугольника. Расстояние, на котором она оказалась, — гипотенуза. Расстояние, которое нужно найти — другой катет.
\[130^2 - 50^2 = 14400\]
Значит, на восток девочка прошла 120 метров.
Ответ: 120
В 32 метрах одна от другой растут 2 сосны. Высота одной из них 37 м, а второй — 13 м. Каково расстояние (в метрах) между их верхушками?
Обозначим \(AF\) — высоту большей сосны, \(BD\) — меньшей.
Расстояние между ними — перпендикуляр \(CD=32\). Отрезок \(CF = 37-13=24\) м. Тогда по теореме Пифагора:
\[FD^2=24^2 + 32^2.\]
Откуда \(FD = 40\) метров.
Ответ: 40
Площадь прямоугольного земельного участка равна 11 га. Ширина участка равна 200 метров. Найдите длину этого участка.
Переведем площадь участка из гектаров в квадратные метры 11 га = 110000 \(\text{м}^2\).
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Значит, длина равна \(110000:200 = 550\) метров.
Ответ: 550
Площадь прямоугольного земельного участка равна 17 га. Ширина участка равна 400 метров. Найдите длину этого участка.
Переведем площадь участка из гектаров в квадратные метры 11 га = 170000 \(\text{м}^2\).
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Значит, длина равна \(170000:400 = 425\) метров.
Ответ: 425
Найдите периметр прямоугольного участка земли, если его площадь 10000 \(\text{м}^2\) и одна сторона в 4 раза больше другой.
Обозначим длину меньшей стороны \(x\). Тогда длина большей — \(4x\). Так как площадь прямоугольника равна произведению его сторон, имеем:
\[4x \cdot x = 10000 \Rightarrow x^2 = 2500 \Rightarrow x= \pm 50.\]
Так как длина не может быть отрицательной \(x=50\) м.
Периметр — сумма длин всех сторон. Он равен \(2(50 + 4\cdot 50) = 500\).
Ответ: 500
Найдите периметр прямоугольного участка земли, если его площадь 72200 \(\text{м}^2\) и одна сторона в 2 раза больше другой.
Обозначим длину меньшей стороны \(x\). Тогда длина большей — \(2x\). Так как площадь прямоугольника равна произведению его сторон, имеем:
\[2x \cdot x = 72200 \Rightarrow x^2 = 36100 \Rightarrow x= \pm 190.\]
Так как длина не может быть отрицательной \(x=190\) м.
Периметр — сумма длин всех сторон. Он равен \(2(190 + 2\cdot 190) = 1140\).
Ответ: 1140
