Задачи, решающиеся неравенством

Моменты \(t\), в которые пуля находилась на высоте не менее \(2502\) метров, удовлетворяют неравенству \[2 + 300t - 5t^2 \geqslant 2502\qquad \Leftrightarrow\qquad 5t^2 - 300t + 2500 \leqslant 0\qquad\Leftrightarrow \qquad t^2 - 60t + 500\leqslant 0.\] Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения \(t^2 - 60t + 500 = 0\): \[t_1 = 10, \qquad\qquad t_2 = 50\] тогда:

следовательно, пуля находилась на высоте не менее 2502 метров в моменты времени \(t\in[10;50]\), то есть в течение \(50 - 10 = 40\) секунд.

Ответ: 40

\[R = P\cdot Q = 29P - P^2.\] Месячная выручка составит не менее \(100\) тыс. руб. при цене \(P\), которая может быть найдена из неравенства \(29P - P^2 \geqslant 100\), что равносильно \[P^2 - 29P + 100 \leqslant 0.\] Решим это неравенство методом интервалов. Найдём корни уравнения \(P^2 - 29P + 100 = 0\): \[P_1 = 4, \qquad\qquad P_2 = 25,\] тогда:

то есть наименьшая цена, при которой месячная выручка составит не менее \(100\) тыс. руб., равна 4 тыс. руб.

Ответ: 4

Моменты \(t\), в которые мяч находился на высоте не менее \(0,5\) метра, удовлетворяют неравенству \[0,5 + 25t - 5t^2 \geqslant 0,5 \qquad\Leftrightarrow\qquad 25t - 5t^2 \geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad t^2 - 5t \leqslant 0.\] Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения \(t^2 - 5t = 0\): \[t_1 = 0, \qquad\qquad t_2 = 5,\] тогда:

следовательно, мяч находился на высоте не менее 0,5 метра в моменты времени \(t\in[0;5]\), то есть в течение \(5 - 0 = 5\) секунд.

Ответ: 5

Выразим \(v^2\): \[v^2 = 8 - 20z.\] Так как \(v \geqslant 2\), то \(v^2 \geqslant 4\), тогда \[8 - 20z \geqslant 4 \qquad\Leftrightarrow\qquad 4 \geqslant 20z\qquad\Leftrightarrow\qquad z \leqslant 0,2.\] То есть наибольшая допустимая высота равна \(0,2\) метра.

Ответ: 0,2

Искомая высота \(z\) удовлетворяет соотношению \[h = 100 + 20z \geqslant 200\qquad\Leftrightarrow\qquad z \geqslant 5,\] следовательно, наименьшая допустимая высота равна 5 метрам.

Ответ: 5

В состоянии 1 длина стержня стала \(l_1 \leqslant 1,2l_0\), а после перехода в состояние 2 она стала составлять \[l_2 = \dfrac{90}{100}\cdot l_1 \leqslant \dfrac{90}{100}\cdot 1,2l_0 = 1,08l_0.\] Таким образом, относительное удлинение, которое получил стержень в состоянии 2 по отношению к первоначальному состоянию: \[\mathcal{E} = \dfrac{l_2 - l_0}{l_0} \leqslant \dfrac{1,08l_0 - l_0}{l_0} = 0,08,\] следовательно, наибольшее относительное удлинение, которое мог получить стержень в состоянии 2 по отношению к первоначальному состоянию, равно \(0,08\).

Ответ: 0,08

Моменты \(t\), в которые кот находился на высоте не менее \(1\) метра, пока летел вверх, удовлетворяют двойному неравенству \[1 \leqslant 1 + 8t - 8t^2 \leqslant 3.\] Решим два неравенства по очереди.

Рассмотрим неравенство \(1 \leqslant 1 + 8t - 8t^2\). Оно равносильно неравенству \[t^2 - t \leqslant 0,\] которое решим методом интервалов. Найдём корни уравнения \(t^2 - t = 0\): \[t_1 = 0,\qquad\qquad t_2 = 1,\] тогда:

тогда решениями этого неравенства будут \(t\in[0; 1]\).

Рассмотрим теперь неравенство \(1 + 8t - 8t^2 \leqslant 3\). Оно равносильно неравенству \[4t^2 -4t + 1 \geqslant 0,\] которое решим методом интервалов. Найдём корни уравнения \(4t^2 -4t + 1 = 0\): \[t = 0,5,\] тогда:

но с учётом того, что \(t \geqslant 0\) подходят только \(t \geqslant 0\).

По условию задачи при достижении высоты 3 метра (как показано выше, это произошло в момент \(t = 0,5\)) кот зацепился на люстре и его высота больше не менялась по закону \(h = 1 + 8t - 8t^2\), следовательно из решений последнего неравенства нас интересуют только \(t\in[0; 0,5]\).

Тогда общее решение двух неравенств: \(t\in [0; 0,5]\), то есть пока кот летел вверх, он находился на высоте не менее 1 метра в течение \(0,5 - 0 = 0,5\) секунды.

Далее 1 секунду он висел на люстре, потом стал падать, и до падения его высота менялась по закону \(h = 3 - 2t^2\).

Моменты \(t\), в которые он был на высоте не менее 1 метра, удовлетворяют неравенству \(3 - 2t^2 \geqslant 1\), которое равносильно \[t^2 \leqslant 1.\] Решим его методом интервалов. Найдём корни уравнения \(3 - 2t^2 = 1\): \[t_1 = -1,\qquad\qquad t_2 = 1,\] тогда:

так как нас интересуют только \(t \geqslant 0\), то в итоге, падая, кот находился на высоте не менее \(1\) метра в моменты \(t\in[0; 1]\), то есть в течение \(1 - 0 = 1\) секунды. В сумме он был на высоте не менее одного метра в течение \(0,5 + 1 + 1 = 2,5\) секунд.

Ответ: 2,5