Для системы \(N\) материальных точек справедлив второй закон Ньютона \[F = m_1a_1 + ... + m_Na_n,\] где \(F\) – сила в ньютонах, \(m_i\) – масса \(i\)-ой точки в кг, \(a_i\) – ускорение \(i\)-ой точки в м/с\(^2\). Пусть система состоит из 5 материальных точек с массами \(m_1 = 1,\ m_2 = 2,\ m_3 = 1,\ m_4 = 2,\ m_5\) и ускорениями \(a_1 = 1,\ a_2 = 2,\ a_3 = 2,\ a_4 = 4,\ a_5\), пусть сила при этом \(F = 40\). В какое минимальное число раз надо увеличить ускорение 5-ой точки, чтобы сила \(F\) увеличилась не менее чем в 3 раза?
Пусть \(m_{5_0}\) и \(a_{5_0}\) – начальные параметры 5-ой точки, тогда изначально \[F_0 = 1\cdot 1 + 2\cdot 2 + 1\cdot 2 + 2\cdot 4 + m_{5_0}a_{5_0} = 15 + m_{5_0}a_{5_0} = 40,\] откуда \(m_{5_0}a_{5_0} = 25\) Н. При увеличении силы не менее чем в 3 раза имеем: \[15 + m_{5_0}a_5 = F \geqslant 3F_0 = 120,\ \Leftrightarrow\ m_{5_0}a_5 \geqslant 105 = \dfrac{105}{25}\cdot 25 = \dfrac{105}{25}m_{5_0}a_{5_0},\ \Leftrightarrow\ a_5 \geqslant 4,2\cdot a_{5_0},\] то есть ускорение 5-ой точки надо увеличить минимум в 4,2 раза.
Ответ: 4,2