Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

13. Задачи на подстановку значений переменных в формулу

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи, решающиеся неравенством (страница 3)

Задание 15 #5079

Материальная точка \(M\) движется в поле силы тяжести так, что для неё справедлив закон сохранения энергии в виде \[\dfrac{mv^2}{2}+mgz = h,\] где \(v = 10\) м/с – ее скорость, \(g = 10\) м/с\(^2\) – ускорение свободного падения, \(z\) – высота над уровнем моря, на которой находится точка (в метрах), \(h\) – ее механическая энергия в Дж, \(m = 2\) кг – ее масса. Определите, при какой наименьшей высоте над уровнем моря механическая энергия точки \(M\) будет не менее чем 200 Дж. Ответ дайте в метрах.

Искомая высота \(z\) удовлетворяет соотношению \[h = 100 + 20z \geqslant 200\qquad\Leftrightarrow\qquad z \geqslant 5,\] следовательно, наименьшая допустимая высота равна 5 метрам.

Ответ: 5

Задание 16 #5080

После предупредительного выстрела в воздух высота пули до падения менялась по закону \(h = 2 + 300t - 5t^2\), где \(h\) – высота в метрах, \(t\) – время в секундах, отсчитываемое от момента выстрела. Сколько секунд с момента выстрела пуля находилась на высоте не менее \(2502\) метров?

Моменты \(t\), в которые пуля находилась на высоте не менее \(2502\) метров, удовлетворяют неравенству \[2 + 300t - 5t^2 \geqslant 2502\qquad \Leftrightarrow\qquad 5t^2 - 300t + 2500 \leqslant 0\qquad\Leftrightarrow \qquad t^2 - 60t + 500\leqslant 0.\] Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения \(t^2 - 60t + 500 = 0\): \[t_1 = 10, \qquad\qquad t_2 = 50\] тогда:

следовательно, пуля находилась на высоте не менее 2502 метров в моменты времени \(t\in[10;50]\), то есть в течение \(50 - 10 = 40\) секунд.

Ответ: 40

Задание 17 #5081

Высота сигнальной ракеты после выстрела и до падения менялась по закону \(h = 80t - 5t^2\), где \(h\) – высота в метрах, \(t\) – время в секундах, отсчитываемое от момента выстрела. Сколько секунд с момента выстрела до момента падения сигнальная ракета находилась на высоте не более \(140\) метров?

Моменты \(t\), в которые сигнальная ракета находилась на высоте не более \(140\) метров, удовлетворяют двойному неравенству \[0 \leqslant 80t - 5t^2 \leqslant 140.\] Решим два неравенства по очереди.

Рассмотрим неравенство \(0 \leqslant 80t - 5t^2\). Оно равносильно неравенству \[5t^2 - 80t \leqslant 0,\] которое решим методом интервалов. Найдём корни уравнения \(5t^2 - 80t = 0\): \[t_1 = 0, \qquad\qquad t_2 = 16,\] тогда:

тогда решениями этого неравенства будут \(t\in[0; 16]\).

Рассмотрим теперь неравенство \(80t - 5t^2 \leqslant 140\). Оно равносильно неравенству \(5t^2 -80t + 140 \geqslant 0\), что равносильно \[t^2 -16t + 28 \geqslant 0.\] Решим это неравенство методом интервалов. Найдём корни уравнения \(t^2 -16t + 28 = 0\): \[t_1 = 2, \qquad\qquad t_2 = 14,\] тогда:

но с учётом того, что \(t \geqslant 0\) подходят только \(t\in[0; 2] \cup [14; +\infty)\).

В итоге сигнальная ракета находилась на высоте не более \(140\) метров в моменты \(t\in[0; 2] \cup [14; 16]\), то есть в течение \((2 - 0) + (16 - 14) = 4\) секунды.

Ответ: 4

Задание 18 #5082

Относительное удлинение твёрдого стержня может быть найдено по формуле \[\mathcal{E} = \dfrac{l - l_0}{l_0},\] где \(l_0\) – начальная длина стержня (в метрах), \(l\) – конечная длина (в метрах). Длина стержня сначала увеличилась (состояние 1) не более чем в \(1,2\) раза, а затем уменьшилась (состояние 2) и стала составлять \(90\%\) от длины, которая была в состоянии 1. Какое при этом наибольшее относительное удлинение мог получить стержень в состоянии 2 по отношению к первоначальному состоянию?

В состоянии 1 длина стержня стала \(l_1 \leqslant 1,2l_0\), а после перехода в состояние 2 она стала составлять \[l_2 = \dfrac{90}{100}\cdot l_1 \leqslant \dfrac{90}{100}\cdot 1,2l_0 = 1,08l_0.\] Таким образом, относительное удлинение, которое получил стержень в состоянии 2 по отношению к первоначальному состоянию: \[\mathcal{E} = \dfrac{l_2 - l_0}{l_0} \leqslant \dfrac{1,08l_0 - l_0}{l_0} = 0,08,\] следовательно, наибольшее относительное удлинение, которое мог получить стержень в состоянии 2 по отношению к первоначальному состоянию, равно \(0,08\).

Ответ: 0,08

Задание 19 #5083

Материальная точка \(N\) движется в поле силы тяжести. Для неё справедлив закон сохранения энергии в виде \[\dfrac{mv^2}{2}+mgz = h,\] где \(v = 6\) м/с – ее скорость, \(g = 10\) м/с\(^2\) – ускорение свободного падения, \(z\) – высота над уровнем моря, на которой находится точка (в метрах), \(h\) – ее механическая энергия в Дж, \(m\) – ее масса в кг. Определите, какое наименьшее значение может иметь масса точки, чтобы существовало значение \(z \in [5; 10]\), при котором механическая энергия оказалась бы не менее чем \(236\) Дж. Ответ дайте в килограммах.

Для некоторого \(z\in[5; 10]\) должно выполняться \[18m + 10mz \geqslant 236 \qquad\Leftrightarrow\qquad (18 + 10z)m \geqslant 236\qquad\Leftrightarrow \qquad m\geqslant \dfrac{118}{9 + 5z}.\] Рассмотрим отдельно выражение \(\dfrac{118}{9 + 5z}\) при \(z\in[5; 10]\):   \(5 \leqslant z \leqslant 10\), тогда \(25 \leqslant 5z \leqslant 50\), тогда \(34 \leqslant 9 + 5z \leqslant 59\), тогда \[\dfrac{1}{59} \leqslant\dfrac{1}{9+5z} \leqslant\dfrac{1}{34}\qquad\Leftrightarrow\qquad 2 \leqslant\dfrac{118}{9+5z} \leqslant\dfrac{118}{34}.\] В итоге на \(z\in[5;10]\): \[m \geqslant \dfrac{118}{9 + 5z} \geqslant 2,\] следовательно, для выполнения условия задачи \(m\) не может быть меньше 2, причём при \(z = 10\) неравенство \[m\geqslant \dfrac{118}{9 + 5z}\] принимает вид \(m\geqslant 2\), следовательно, наименьшее допустимое значение массы точки \(N\) равно \(2\) кг.

Ответ: 2

Задание 20 #5084

Аня подбросила толстого плохо обтекаемого кота. Высота, на которой он находился до достижения люстры, менялась по закону \[h = 1 + 8t - 8t^2,\] где \(h\) – высота в метрах, \(t\) – время в секундах, отсчитываемое от момента подбрасывания. После достижения люстры (которая висела на высоте \(h = 3\) м) кот провисел на ней 1 секунду и упал вместе с ней. Во время падения кота его высота до благополучного приземления на лапы менялась по закону \(h = 3 - 2t^2\), где \(h\) – высота в метрах, \(t\) – время в секундах, отсчитываемое от момента совместного падения кота и люстры. Сколько секунд с момента подбрасывания кот находился на высоте не менее \(1\) метра?

Моменты \(t\), в которые кот находился на высоте не менее \(1\) метра, пока летел вверх, удовлетворяют двойному неравенству \[1 \leqslant 1 + 8t - 8t^2 \leqslant 3.\] Решим два неравенства по очереди.

Рассмотрим неравенство \(1 \leqslant 1 + 8t - 8t^2\). Оно равносильно неравенству \[t^2 - t \leqslant 0,\] которое решим методом интервалов. Найдём корни уравнения \(t^2 - t = 0\): \[t_1 = 0,\qquad\qquad t_2 = 1,\] тогда:

тогда решениями этого неравенства будут \(t\in[0; 1]\).

Рассмотрим теперь неравенство \(1 + 8t - 8t^2 \leqslant 3\). Оно равносильно неравенству \[4t^2 -4t + 1 \geqslant 0,\] которое решим методом интервалов. Найдём корни уравнения \(4t^2 -4t + 1 = 0\): \[t = 0,5,\] тогда:

но с учётом того, что \(t \geqslant 0\) подходят только \(t \geqslant 0\).

По условию задачи при достижении высоты 3 метра (как показано выше, это произошло в момент \(t = 0,5\)) кот зацепился на люстре и его высота больше не менялась по закону \(h = 1 + 8t - 8t^2\), следовательно из решений последнего неравенства нас интересуют только \(t\in[0; 0,5]\).

Тогда общее решение двух неравенств: \(t\in [0; 0,5]\), то есть пока кот летел вверх, он находился на высоте не менее 1 метра в течение \(0,5 - 0 = 0,5\) секунды.

Далее 1 секунду он висел на люстре, потом стал падать, и до падения его высота менялась по закону \(h = 3 - 2t^2\).

Моменты \(t\), в которые он был на высоте не менее 1 метра, удовлетворяют неравенству \(3 - 2t^2 \geqslant 1\), которое равносильно \[t^2 \leqslant 1.\] Решим его методом интервалов. Найдём корни уравнения \(3 - 2t^2 = 1\): \[t_1 = -1,\qquad\qquad t_2 = 1,\] тогда:

так как нас интересуют только \(t \geqslant 0\), то в итоге, падая, кот находился на высоте не менее \(1\) метра в моменты \(t\in[0; 1]\), то есть в течение \(1 - 0 = 1\) секунды. В сумме он был на высоте не менее одного метра в течение \(0,5 + 1 + 1 = 2,5\) секунд.

Ответ: 2,5