Площади геометрических фигур

Из основного тригонометрического тождества:
\(\sin^2\angle BAC = 1 - \dfrac{15}{16}\), тогда \(\sin\angle BAC = \pm 0,25\). Так как \(\angle BAC \in (0^{\circ}; 180^{\circ})\), то \(\sin\angle BAC = 0,25\).

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними,
тогда площадь треугольника \(ABC\) равна \(0,5\cdot 4 \cdot 6 \cdot 0,25 = 3\).

Ответ: 3

Т.к. \(PQ\) – средняя линия \(\triangle ABC\), то \(2PQ=BC\). Периметр \(\triangle ABC\): \[P_{ABC}=AB+AC+BC=2AP+2AQ+2PQ=2(AP+AQ+PQ)=2\cdot P_{APQ}=2\cdot 21=42.\]

Ответ: 42

По формуле Герона \(S_{\triangle ABC} = \sqrt{p(p - AB)(p - BC)(p - AC)}\), где \(p\) – полупериметр треугольника \(ABC\), \(p = 4,5\),
тогда \(S_{\triangle ABC}^2 = p(p - AB)(p - BC)(p - AC)\), тогда \(\dfrac{S_{\triangle ABC}^2}{p(p - AB)} = (p - BC)(p - AC) = p^2 - p(AC + BC) + AC\cdot BC\), откуда

\(\dfrac{\frac{135}{16}}{4,5\cdot 2,5} = \dfrac{81}{4} - \dfrac{9}{2}(AC + BC) + 12\qquad\Rightarrow\qquad \dfrac{135}{16} \cdot\dfrac{4}{45} = \dfrac{81}{4} - \dfrac{9}{2}(AC + BC) + 12\qquad\Rightarrow\)

\(\Rightarrow\qquad \dfrac{39}{2} = \dfrac{9}{2}(AC + BC) - 12 \qquad\Rightarrow\qquad AC + BC = 7.\)

Ответ: 7

Третья сторона треугольника равна \(250 - 120 - 17 = 113\).
По формуле Герона \(S_{\triangle ABC} = \sqrt{p(p - AB)(p - BC)(p - AC)}\), где \(p\) – полупериметр треугольника \(ABC\).

Для данного треугольника

\(S_{\triangle ABC} = \sqrt{125\cdot (125 - 120)\cdot (125 - 17)\cdot (125 - 113)} = \sqrt{125\cdot 5 \cdot 12 \cdot 108} =\)

\(= 25\sqrt{12\cdot 108} = 100\sqrt{3\cdot 27} = 900.\)

Ответ: 900

Так как \(AD\) перпендикулярна \(DC\), то \(\sin{\angle C} = \cos{\angle DAC} = 0,7\).

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними,
тогда площадь треугольника \(ABC\) равна \(0,5\cdot 6 \cdot 9 \cdot 0,7 = 18,9\).

Ответ: 18,9

Построим высоту \(BK\)


Площадь треугольника \(ABD\) может быть найдена по формуле: \(S_{ABD} = 0,5\cdot AD\cdot BK\).
Аналогично \(S_{BCD} = 0,5\cdot CD\cdot BK\), откуда можно сделать вывод:
\(\dfrac{S_{BCD}}{S_{ABD}} = \dfrac{0,5\cdot CD\cdot BK}{0,5\cdot AD\cdot BK} = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{3}{2}\), тогда \(S_{BCD} = \dfrac{3}{2}\cdot S_{ABD} = \dfrac{3}{2}\cdot 7,5 = 11,25\).

Ответ: 11,25

Так как медиана делит треугольник на два равновеликих (то есть, с равными площадями), то площадь треугольника \(BDC\) равна площади треугольника \(ABD\) и равна \(1\). Тогда площадь треугольника \(ABC\), равная сумме площадей треугольников \(ABD\) и \(BDC\), равна 2.

Покажем подробнее тот факт, что медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника:

площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию, тогда площадь треугольника \(ABD\) равна \(0,5 \cdot AD \cdot h\), где \(h\) – высота, проведённая из \(B\) к стороне \(AC\). Площадь треугольника \(BDC\) равна \(0,5 \cdot CD \cdot h\), но \(CD = AD\), тогда \(0,5 \cdot AD \cdot h = 0,5 \cdot CD \cdot h\) и, значит, площади треугольников \(ABD\) и \(BDC\) равны.

Ответ: 2