Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Темы отсутствуют
Кликните, чтобы открыть меню

19. Задачи на клетчатой бумаге

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на клетчатой бумаге

Задание 1 #6082

Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник \(ABC\), считая стороны квадратных клеток равными \(1\).

Так как радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, ищется по формуле \(r=(a+b-c):2\), где \(a, b\) – катеты, \(c\) – гипотенуза, то \[r=\dfrac{3+4-\sqrt{3^2+4^2}}2=1\]

Ответ: 1

Задание 2 #6083

Найдите угол \(ABC\). Ответ дайте в градусах.

Пусть \(O\) – центр окружности.



Пусть сторона клетки равна \(1\). Точки \(O\), \(C\) и \(A\) находятся в узлах решетки, причем \(AO\) – гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами \(2\), следовательно, \(AO=2\sqrt2\). \(AO=CO\) – радиусы окружности. \(AC=4\).
Заметим, что \(AO^2+CO^2=AC^2\), следовательно, по обратной теореме Пифагора, \(\angle AOC=90^\circ\). Это центральный угол, опирающийся на хорду \(AC\). Тогда вписанный угол \(ABC\), опирающийся на эту же хорду, равен половине \(\angle AOC\), то есть \(45^\circ\).

Ответ: 45

Задание 3 #6084

Найдите градусную меру дуги \(AC\) окружности, на которую опирается угол \(ABC\). Ответ дайте в градусах.

Пусть \(O\) – центр окружности.



Пусть сторона клетки равна \(1\). Точки \(O\) и \(A\) находятся в узлах решетки, причем \(AO\) – гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника \(AOK\) (с катетами \(2\)). Следовательно, \(\angle AOK=\angle OAK=45^\circ\).
\(\angle AOC=\angle AOK=45^\circ\) – центральный угол, опирающийся на хорду \(AC\). Тогда градусная мера дуги \(AC\) также равна \(45^\circ\).

Ответ: 45

Задание 4 #6085

На клетчатой бумаге с размером клетки \(1\times 1\) изображен угол. Найдите синус этого угла.

Отметим точки \(A, B, C\), проведем отрезок \(BC\):



Заметим, что все вершины треугольника \(ABC\) находятся в узлах решетки, причем \(AC=4, BC=3\). Тогда \(AB=\sqrt{3^2+4^2}=5\). Так как синус острого угла (в прямоугольном треугольнике) – это отношение противолежащего катета к гипотенузе, то \[\sin \angle A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac35=0,6\]

Ответ: 0,6

Задание 5 #6086

На клетчатой бумаге с размером клетки \(1\times 1\) изображен угол. Найдите синус этого угла.

Продлим одну из сторон тупого угла \(A\) на отрезок \(AC\) так, чтобы \(BC\perp AC\):



Заметим, что все вершины треугольника \(ABC\) находятся в узлах решетки, причем \(AC=3, BC=4\). Тогда \(AB=\sqrt{3^2+4^2}=5\). Так как синус острого угла (в прямоугольном треугольнике) – это отношение противолежащего катета к гипотенузе, то \[\sin \angle BAC=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac45=0,8\] Угол \(BAC\) с тупым углом \(A\) – смежные, следовательно, их синусы равны, значит, синус тупого угла \(A\) равен также \(0,8\).

Ответ: 0,8

Задание 6 #6087

На клетчатой бумаге с размером клетки \(1\times 1\) изображен угол. Найдите косинус этого угла.

Продлим одну из сторон тупого угла \(A\) на отрезок \(AC\) так, чтобы \(BC\perp AC\):



Заметим, что все вершины треугольника \(ABC\) находятся в узлах решетки, причем \(AC=4, BC=3\). Тогда \(AB=\sqrt{3^2+4^2}=5\). Так как косинус острого угла (в прямоугольном треугольнике) – это отношение прилежащего катета к гипотенузе, то \[\cos \angle BAC=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac45=0,8\] Угол \(BAC\) с тупым углом \(A\) – смежные, следовательно, их косинусы противоположны, значит, косинус тупого угла \(A\) равен \(-0,8\).

Ответ: -0,8

Задание 7 #6088

Найдите площадь квадрата, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки \(1\) см \(\times\) \(1\) см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Рассмотрим прямоугольный \(\triangle ANL\):



Все точки \(A, N, L\) лежат в узлах решетки, \(NL\) – гипотенуза этого треугольника и сторона квадрата. Так как площадь квадрата равна квадрату его стороны, то \[S=NL^2=AN^2+AL^2=2^2+7^2=53\]

Ответ: 53