Задачи на движение по воде

Пусть \(v\) км/ч – скорость течения, \(v > 0\), тогда

\(27 + v\) – скорость перемещения катера по течению,

\(27 - v\) – скорость перемещения катера против течения,

\(\dfrac{120}{27 + v}\) – время, затраченное катером на перемещение по течению,

\(\dfrac{120}{27 - v}\) – время, затраченное катером на перемещение против течения.

Так как время перемещения против течения на час больше, чем время по течению, то: \[\dfrac{120}{27 + v} + 1 = \dfrac{120}{27 - v}\qquad\Leftrightarrow \qquad v^2 + 240 v - 729 = 0\] – при \(v \neq \pm 27\), что равносильно \(v_1 = 3, v_2 = -243\), откуда получаем, что \(v = 3\) км/ч, так как \(v > 0\).

Ответ: 3

Так как теплоходы встретились посередине, а время, затраченное на это теплоходом с меньшей скоростью в неподвижной воде, меньше, чем время теплохода с большей скоростью в неподвижной воде, то теплоход с большей скоростью в неподвижной воде плыл против течения, то есть течение направлено от В к А.

Пусть \(v\) км/ч – скорость первого теплохода в неподвижной воде, \(v > 0\), тогда

\(v - 2\) км/ч – скорость перемещения первого теплохода,

\((v - 1) + 2\) км/ч – скорость перемещения второго теплохода,

\(\dfrac{60}{v - 2}\) ч – время, затраченное первым теплоходом,

\(\dfrac{60}{v + 1}\) ч – время, затраченное вторым теплоходом.

Так как время, затраченное первым теплоходом, на час больше, то: \[\dfrac{60}{v - 2} - \dfrac{60}{v + 1} = 1\qquad\Leftrightarrow\qquad v^2 - v - 182 = 0\] – при \(v \neq 2, v \neq -1\), откуда находим \(v_1 = 14, v_2 = -13\), значит, \(v = 14\) км/ч (т.к. \(v > 0\)).

Ответ: 14

Пусть \(v\) км/ч – скорость лодки по пути от А до В, тогда

\(\dfrac{90}{v}\) ч – время, затраченное лодкой на путь из А в В,

\(\dfrac{45}{v + 5}\) ч – время, затраченное лодкой на первую половину пути из В в А,

\(\dfrac{45}{v - 2,5}\) – время, затраченное лодкой на вторую половину пути из В в А.

Так как в итоге лодка проплыла из В в А за такое же время, как и из А в В, то: \[\dfrac{90}{v} = \dfrac{45}{v + 5} + \dfrac{45}{v - 2,5},\] откуда \(v = 10\) км/ч.

Ответ: 10

Плот проплыл 13 км за \(13 : 2 = 6,5\) часов. Тогда дорога из M в N и обратно заняла у катера \(6,5 - 1 = 5,5\) часов.

Пусть \(v\) км/ч – скорость катера в стоячей воде, \(v > 0\), тогда

\(\dfrac{60}{v + 2}\) часов – время, затраченное катером на дорогу из M в N, так как течение направлено из M в N (плот плывёт по течению),

\(\dfrac{60}{v - 2}\) часов – время, затраченное катером на дорогу из N в M.

Так как суммарное время, затраченное катером на дорогу из M в N и обратно, равно 5,5 часов, то: \[\dfrac{60}{v + 2} + \dfrac{60}{v - 2} = 5,5\qquad\Leftrightarrow \qquad 11v^2 - 240v - 44 = 0\] – при \(v \neq \pm 2\), откуда находим \(v_1 = 22,\ v_2 = -\dfrac{2}{11}\). Так как \(v > 0\), то ответ \(22\) км/ч.

Ответ: 22

Пусть \(S\) км – расстояние, которое проплыл теплоход по пути из А в В, тогда

\(\dfrac{S}{12 + 2}\) часов – время, которое теплоход плыл по течению,

\(\dfrac{S}{12 - 2}\) часов – время, которое теплоход плыл против течения,

плыл теплоход всего \(29 - 5 = 24\) часа, тогда:

\[\dfrac{S}{14} + \dfrac{S}{10} = 24,\] откуда находим \(S = 140\) км.

Ответ: 140

Чтобы Антон успел, необходимо и достаточно, чтобы его лодка перемещалась со скоростью не меньше, чем \(25 : 2 = 12,5\) км/ч. То есть для того, чтобы Антон успел, необходимо и достаточно, чтобы скорость течения была не меньше, чем \(2,5\) км/ч.

Ответ: 2,5

Пусть \(v_{\text{т}}\) км/ч – скорость течения, \(v > 0\), тогда

\(18 + v_{\text{т}}\) – скорость перемещения яхты по течению,

\(18 - v_{\text{т}}\) – скорость перемещения яхты против течения,

\(\dfrac{180}{18 + v_{\text{т}}}\) – время, затраченное яхтой на перемещение по течению,

\(\dfrac{144}{18 - v_{\text{т}}}\) – время, затраченное яхтой на перемещение против течения.

Так как время перемещения против течения совпадает со временем по течению, то: \[\dfrac{180}{18 + v_{\text{т}}} = \dfrac{144}{18 - v_{\text{т}}} \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{180(18 - v_{\text{т}}) - 144(18 + v_{\text{т}})}{(18 + v_{\text{т}})(18 - v_{\text{т}})} = 0\,,\] что при \(v_{\text{т}}\neq \pm 18\) равносильно \(v_{\text{т}} = 2\).

Ответ: 2