6. Решение простейших уравнений и систем уравнений
Найдите корень уравнения \(5-4x=12-2x\).
Перенесем слагаемые, не содержащие переменную, в правую часть равенства, изменив их знак на противоположный. Слагаемые, содержащие переменную, аналогичным образом перенесем в левую часть.
\(-4x+2x=-5+12\),
\(-2x=7\).
Разделим обе части равенства на -2.
\(x=-3,5\).
Ответ: -3,5
Найдите корень уравнения \(10-3(1-7x)=-4x-8\).
Решим: \[\begin{aligned} &10-3+21x=-4x-8\quad \Leftrightarrow\\ &21x+4x=-8-10+3\quad \Leftrightarrow\\ &25x=-15\quad \Leftrightarrow\\[1ex] &x=-\dfrac{15}{25}\quad \Leftrightarrow\\[1ex] &x=-\dfrac35=-\dfrac6{10}=-0,6 \end{aligned}\]
(Чтобы убедиться в правильности найденного корня, можно сделать проверку, подставив его в исходное уравнение.)
Ответ: -0,6
Найдите корень уравнения \(3x-2-3(x+5)=-(2-x)-5\).
Решим: \[\begin{aligned} &3x-2-3x-15=-2+x-5\quad \Leftrightarrow\\ &3x-3x-x=-2-5+2+15\quad \Leftrightarrow\\ &-x=10\quad \Leftrightarrow\\ &x=-10 \end{aligned}\]
(Чтобы убедиться в правильности найденного корня, можно сделать проверку, подставив его в исходное уравнение.)
Ответ: -10
Найдите корень уравнения \(\dfrac{x+4}4-\dfrac x3=3\).
Способ 1.
Перенесем все слагаемые в одну часть и приведем к общему знаменателю: \[\begin{aligned} &\dfrac{x+4}4-\dfrac x3-3=0\quad \Leftrightarrow\\[1ex] &\dfrac{3(x+4)}{12}-\dfrac{4x}{12}-\dfrac{36}{12}=0\quad \Leftrightarrow\\[1ex] &\dfrac{3x+12-4x-36}{12}=0\quad \Leftrightarrow\\[1ex] &3x+12-4x-36=0\quad \Leftrightarrow\\[1ex] &-x=24\quad \Leftrightarrow\\ &x=-24 \end{aligned}\]
Способ 2.
Так как обе части уравнения можно умножать на одно и то же число (\(\ne 0\)), то умножим обе части равенства на \(12\): \[\begin{aligned} &12\cdot \left(\dfrac{x+4}4-\cdot \dfrac x3\right)= 12\cdot 3\quad \Leftrightarrow\\[1ex] &12\cdot \dfrac{x+4}4-12\cdot \dfrac x3=12\cdot 3\quad \Leftrightarrow\\[1ex] &3(x+4)-4x=36\quad \Leftrightarrow\\ &3x+12-4x=36\quad \Leftrightarrow\\ &-x=36-12\quad \Leftrightarrow\\ &-x=24\quad \Leftrightarrow\\ &x=-24 \end{aligned}\]
(Чтобы убедиться в правильности найденного корня, можно сделать проверку, подставив его в исходное уравнение.)
Ответ: -24
Найдите корень уравнения \(2-x=15\).
Перенесем слагаемые, не содержащие переменную, в правую часть равенства, изменив их знак на противоположный.
\(-x=-2+15\),
\(-x=13\).
Разделим обе части равенства на -1.
\(x=-13\).
Ответ: -13
Найдите корень уравнения \(3-\frac{y}{2}=2y\).
Домножим обе части равенства на 2.
\(2(3-\frac{y}{2})=4y\),
\(6-y=4y\).
Перенесем слагаемые, не содержащие переменную, в левую часть равенства, изменив их знак на противоположный. Слагаемые, содержащие переменную, аналогичным образом перенесем в правую часть.
\(6=y+4y\),
\(6=5y\).
Разделим обе части равенства на 5.
\(y=1,2\).
Ответ: 1,2
Найдите корень уравнения \(-\frac{4}{5}y=\frac{5}{4}-y\).
Домножим обе части равенства на наименьшее общее кратное чисел 4 и 5, то есть на 20 (общий знаменатель дробей \(\frac{4}{5}\) и \(\frac{5}{4}\)).
\(-20 \cdot \frac{4}{5}y=20(\frac{5}{4}-y)\),
\(-16y=25 - 20y\).
Cлагаемые, содержащие переменную, перенесем в левую часть, изменив их знак на противоположный.
\(-16y+20y=25\),
\(4y=25\).
Разделим обе части равенства на 4.
\(y=6,25\).
Ответ: 6,25
