Постройте график функции \[y=\begin{cases} x^2-10x+25 \quad \text{при } x\geqslant 4,\\ x-2\qquad \text{при }x<4. \end{cases}\]
Определите, при каких значениях \(n\) прямая \(y=n\) имеет с графиком ровно две общие точки.
Рассмотрим \(y=x^2-10x+25\). По формуле квадрата разности данную формулу можно преобразовать в \(y=(x-5)^2\). Следовательно, график этой функции получается из параболы \(y=x^2\), сдвинутой на 5 единиц вправо. Изобразим график этой функции для \(x\geqslant 4\).
Графиком \(y=x-2\) является прямая; он получается сдвигом прямой \(y=x\) на 2 единицы вниз. Изобразим эту прямую для \(x<4\). Получим:
(заметим, что так как \(y=x-2\) определена при \(x<4\), то точка \((4;2)\) на этой прямой будет выколотой)
Прямая \(y=n\) – горизонтальная прямая. Она будет иметь с графиком данной функции 2 точки пересечения, если \(n=0\) (1 точка с прямой, другая – в вершине параболы) и \(n\in(1;2)\) (\(n=1\) не включается, потому что тогда имеем 3 точки пересечения: одна с прямой и две другие с параболой; \(n=2\) не включается, так как на прямой точка \((4;2)\) выколота).
Ответ: n = 0, n ∈ (1; 2)