Квадратные уравнения

ОДЗ — любой \(x\). Решим на ОДЗ.

Способ 1.

Приведем уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\). Для этого перенесем все слагаемые в одну сторону равенства. Учтем, что при переносе через знак равенства плюс меняется на минус и наоборот. Тогда \(a=6, b=-24, c=0\).

Найдем дискриминант уравнения \(D=b^2-4ac= 24^2\).

Тогда \(x=\frac{24-24}{12}=0\) или \(\frac{24+24}{12}=4\).

Меньшим является корень \(0\).

Способ 2.

Перенесем все слагаемые в одну сторону равенства. Вынесем за скобки общий множитель \(6x\). Произведение равно 0, если хотя бы один из множителей равен 0.

\(6x^2-24x=0\),

\(6x(x-4)=0\),

\(x=0\) или \(x=4\).

Наименьшим является корень \(0\).

Ответ: 0

ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:

После упрощения имеем \(4x^2 + 12x + 9 = 4x^2 + 9\), что равносильно \(12x = 0\), что равносильно \(x = 0\) – подходит по ОДЗ.

Ответ: 0

Данное уравнение является квадратным. Раскроем скобки: \[9x+12-3x^2-4x=4\quad\Leftrightarrow\quad 3x^2-5x-8=0\]

1 способ.
Дискриминант \(D=25+4\cdot 3\cdot 8=121=11^2\), следовательно, корни: \[x_1=\dfrac{5+11}{2\cdot 3}=\dfrac83 \qquad\text{и}\qquad x_2=\dfrac{5-11}{2\cdot 3}=-1.\] Следовательно, отрицательный корень – это \(x=-1\).

2 способ.
Заметим, что сумма коэффициентов, стоящих при четных степенях: \(3+(-8)=-5\), равна сумме коэффициентов, стоящих при нечетных степенях: \(-5\), следовательно, один из корней \(x_1=-1\). Тогда второй по теореме Виета (т.к. их произведение равно \(-\frac83\)) равен \(x_2=\frac83\).

Ответ: -1

Левая часть уравнения является суммой двух квадратов. Квадрат — неотрицательный, а значит, сумма двух квадратов может равняться нулю тогда и только тогда, когда каждый из квадратов равен нулю. Таким образом, мы переходим к системе уравнений: \[\begin{cases} (x^2 - 25)^2 = 0; \\ (x^2 - 14x + 45)^2 = 0. \end{cases} \quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases} x^2 - 5^2 = 0; \\ x^2 - 14x + 45 = 0. \end{cases} \quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases} (x - 5)(x + 5) = 0; \\ (x - 5)(x - 9) = 0. \end{cases} \quad \Leftrightarrow\quad\] \[\quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases} \left[\begin{gathered} x = 5;\\x = - 5; \end{gathered}\right. \\\\ \left[\begin{gathered} x = 5;\\x = 9. \end{gathered}\right. \end{cases} \quad \Leftrightarrow\quad x = 5.\]

Квадрат выражения равен нулю тогда и только тогда, когда само выражение равно нулю, поэтому в первом переходе в каждом уравнении можно избавиться от степени в левой части. Во втором переходе в первом уравнении была использована формула разности квадратов, а во второй — теорема Виета.

Ответ: 5

Прежде всего, нужно записать ОДЗ для отсеивания возможных недопустимых для уравнения корней: \[\begin{cases} x - 2 \geqslant 0;\\ x - 4 \geqslant 0. \end{cases} \quad \Leftrightarrow\quad x \geqslant 0.\]

Далее решаем уравнение путём возведения в степень для того, чтобы избавиться от знака квадратного корня, а далее решить как квадратное уравнение: \[\begin{aligned} \sqrt{x - 2} &= x - 4 \\ x - 2 &= x^2 - 8x + 16\\ x^2 - 9x + 18 &= 0\\ D = 9^2 - 4\cdot 18 &= 9 \cdot(9 - 4\cdot 2) = 9 = 3^2;\\ x_1 = \dfrac{9 + 3}{2} = 6;& \qquad x_2 = \dfrac{9 - 3}{2} = 3.\end{aligned}\]

Однако, из этих двух корней только \(x_1\) удовлетворяет условиям, накладываемыми ОДЗ.

Ответ: 6

ОДЗ — любой \(x\). Решим на ОДЗ.

Способ 1.

Приведем уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\). Тогда \(a=5, b=20, c=0\).

Найдем дискриминант уравнения \(D=b^2-4ac= 400=20^2\).

Тогда \(x=\frac{-20+20}{10}=0\) или \(\frac{-20-20}{10}=-4\).

Наименьшим является корень \(-4\).

Способ 2.

Вынесем за скобки общий множитель \(5x\). Произведение равно 0, если хотя бы один из множителей равен 0.

\(5x(x+4)=0\),

\(x=0\) или \(x=-4\).

Наименьшим является корень \(-4\).

Ответ: -4

ОДЗ — любой \(x\). Решим на ОДЗ.

Способ 1.

Приведем уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\). Тогда \(a=-25, b=0, c=9\).

Найдем дискриминант уравнения \(D=-4 \cdot (-25) \cdot 9 = 900 = 30^2\).

Тогда \(x=\frac{0+30}{-2 \cdot 25}=-0,6\) или \(\frac{0-30}{-2 \cdot 25}=0,6\).

Меньшим является корень \(-0,6\).

Способ 2.

Перенесем слагаемые с переменной в правую часть равенства, изменив их знак на противоположный. Разделим обе части равенства на коэффициент при старшем члене \(25\).

\(25x^2 = 9\),

\(x^2 = \frac{9}{25}\),

\(x=\frac{3}{5}\) или \(x=-\frac{3}{5}\).

Меньшим является корень \(-\frac{3}{5} = -0,6\).

Ответ: -0,6