Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

18. Площади геометрических фигур

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Площадь треугольника

Задание 1 #6145

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна \(5\), а основание равно \(6\). Найдите площадь этого треугольника.

Проведем высоту к основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является и медианой.



Таким образом мы получили прямоугольный треугольник с катетами \(h\) и \(3\) и гипотенузой \(5\). По теореме Пифагора найдем \(h=\sqrt{5^2-3^2}=4\) (заметим, что такой треугольник называется “египетским”).
Так как площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание, к которому она проведена, то \[S=\dfrac12 h\cdot 6=12\]

Ответ: 12

Задание 2 #6146

У треугольника со сторонами \(9\) и \(6\) проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна \(4\). Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?

Площадь треугольника равна полупроизведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Следовательно, с одной стороны, \(S=0,5\cdot 9\cdot 4\), а с другой стороны \(S=0,5\cdot 6\cdot h\), где \(h\) – высота, которую нужно найти. Следовательно, \[0,5\cdot 9\cdot 4=0,5\cdot 6\cdot h\quad\Leftrightarrow\quad h=6\]

Ответ: 6

Задание 3 #6147

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен \(30^\circ\). Боковая сторона треугольника равна \(10\). Найдите площадь этого треугольника.


 

Площадь треугольника равна полупроизведению сторон на синус угла между ними, следовательно, \[S_{ABC}=\dfrac12\cdot AB\cdot BC\cdot \sin\angle B=\dfrac12\cdot 10^2 \cdot \dfrac12=25\]

Ответ: 25

Задание 4 #6148

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен \(150^\circ\). Боковая сторона треугольника равна \(20\). Найдите площадь этого треугольника.


 

Площадь треугольника равна полупроизведению сторон на синус угла между ними, следовательно, \[S_{ABC}=\dfrac12\cdot AB\cdot BC\cdot \sin\angle B=\dfrac12\cdot 20^2 \cdot \dfrac12=100\]

Ответ: 100

Задание 5 #6149

Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны \(8\) и \(12\), а угол между ними равен \(30^\circ\).


 

Площадь треугольника равна полупроизведению сторон на синус угла между ними, следовательно, \[S_{ABC}=\dfrac12\cdot AB\cdot BC\cdot \sin\angle B=\dfrac12\cdot 8\cdot 12 \cdot \dfrac12=24\]

Ответ: 24

Задание 6 #6150

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен \(30^\circ\). Найдите боковую сторону этого треугольника, если его площадь равна \(25\).

Пусть \(a\) – боковая сторона треугольника.
Площадь треугольника равна полупроизведению сторон на синус угла между ними, следовательно, \[\dfrac12\cdot a^2\cdot \sin30^\circ=S=25\quad\Rightarrow\quad a^2=100\quad\Rightarrow\quad a=10\]

Ответ: 10

Задание 7 #6151

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен \(150^\circ\). Найдите боковую сторону этого треугольника, если его площадь равна \(100\).

Пусть \(a\) – боковая сторона треугольника.
Площадь треугольника равна полупроизведению сторон на синус угла между ними, следовательно, \[\dfrac12\cdot a^2\cdot \sin30^\circ=S=100\quad\Rightarrow\quad a^2=400\quad\Rightarrow\quad a=20\]

Ответ: 20