16. Многоугольники. Базовые свойства
В треугольнике \(ABC\) \(AC=BC=2\sqrt3\), \(\angle C=120^\circ\). Найдите высоту \(AH\).
Рассмотрим прямоугольный \(\triangle ACH\). Так как \(\angle ACB=120^\circ\), то \(\angle ACH=180^\circ-120^\circ=60^\circ\). Следовательно, \(\angle HAC=90^\circ-60^\circ=30^\circ\). Катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы, следовательно, \(HC=0,5AC=\sqrt3\). Тогда по теореме Пифагора \[AH=\sqrt{AC^2-HC^2}=3\]
Ответ: 3
В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90^\circ\), \(CH\) – высота, угол \(A\) равен \(30^\circ\). Найдите \(BH\), если \(AB=4\).
Так как катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы, то \(BC=0,5AB=2\).
По свойству прямоугольного треугольника \(\angle BCH=\angle
A=30^\circ\), следовательно, из \(\triangle BCH\): \(HB=0,5
BC=1\).
Ответ: 1
В треугольнике \(ABC\) \( \ AB=BC=AC=2\sqrt3\). Найдите высоту \(CH\).
Так как \(AC=BC\), то \(CH\) также является медианой, следовательно, \(AH=0,5 AB=\sqrt3\). Тогда по теореме Пифагора из \(\triangle ACH\): \[CH=\sqrt{AC^2-AH^2}=3\]
Ответ: 3
В равностороннем треугольнике \(ABC\) высота \(CH\) равна \(2\sqrt3\). Найдите \(AB\).
Так как \(AC=BC\), то \(CH\) также является медианой. Следовательно, если \(AH=a\), то \(AB=AC=2a\). Тогда по теореме Пифагора из \(\triangle ACH\): \[AC^2=AH^2+CH^2\quad\Rightarrow\quad 4a^2=a^2+12\quad\Rightarrow\quad a=2\quad\Rightarrow\quad AB=2a=4\]
Ответ: 4
В треугольнике \(ABC\) \(AC=BC=4\), \(\angle C=30^\circ\). Найдите высоту \(AH\).
Рассмотрим прямоугольный \(\triangle ACH\). Катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы, следовательно, \(AH=0,5AC=2\).
Заметим, что условие \(BC=4\) в данной задаче является лишним.
Ответ: 2
В треугольнике \(ABC\) \(AC=BC\), высота \(AH\) равна \(4\), угол \(C\) равен \(30^\circ\). Найдите \(BC\).
Рассмотрим прямоугольный \(\triangle ACH\). Катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы, следовательно, \(4=AH=0,5AC\), откуда \(8=AC=BC\).
Ответ: 8
В треугольнике \(ABC\) \(AC=BC\), \(\angle C=120^\circ\), \(AC=2\sqrt3\). Найдите \(AB\).
Проведем \(CK\perp AB\):
Так как \(\triangle ABC\) равнобедренный, то \(CK\) также является медианой и биссектрисой, следовательно, \(AK=0,5AB\) и \(\angle
ACK=60^\circ\). Тогда \(\angle CAK=90^\circ-60^\circ=30^\circ\). Катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы, то есть \(CK=0,5AC=\sqrt3\). Тогда по теореме Пифагора: \[AK=\sqrt{AC^2-CK^2}=3\quad\Rightarrow\quad AB=2AK=6\]
Ответ: 6
