Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

16. Многоугольники. Базовые свойства

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Прямоугольный треугольник

Задание 1 #5854

В \(\triangle ABC\) \(AH\) – высота, \(BD\) – биссектриса, \(O\) – точка пересечения прямых \(AH\) и \(BD\), угол \(ABD\) равен \(62^\circ\). Найдите угол \(AOB\).

 

Так как \(BD\) – биссектриса, то \(\angle CBD=\angle ABD= 62^\circ\). \(\angle HBO=\angle CBD=62^\circ\) как вертикальные.
\(\angle OHB=\angle AHB=90^\circ\).
Следовательно, \(\angle AOB=\angle HOB=90^\circ-\angle HBO=90^\circ-62^\circ=28^\circ\) (так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна \(90^\circ\)).

Ответ: 28

Задание 2 #5855

Острый угол \(B\) прямоугольного треугольника \(ABC\) равен \(55^\circ\). Найдите угол между высотой \(CH\) и медианой \(CM\), проведенными из вершины прямого угла \(C\). Ответ дайте в градусах.

Так как медиана, опущенная из вершины прямого угла треугольника, равна половине гипотенузы, то \(\triangle BMC\) – равнобедренный, то есть \(BM=CM\). Следовательно, \(\angle BCM=\angle B=55^\circ\).
\(\angle BCH=90^\circ-\angle B=35^\circ\). Следовательно, \(\angle HCM=55^\circ-35^\circ=20^\circ\).

Ответ: 20

Задание 3 #5856

В треугольнике \(ABC\): \(\angle C = 90^{\circ}\), \(CE\) – медиана, \(\angle ACE = 50^{\circ}\). Найдите \(\angle B\). Ответ дайте в градусах.

\(\angle ECB = \angle ACB - \angle ACE = 40^{\circ}\). В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, тогда \(CE = BE\), значит треугольник \(CEB\) – равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда \(\angle B = \angle ECB = 40^{\circ}\).

Ответ: 40

Задание 4 #5857

В треугольнике \(ABC\): \(\angle B = 90^{\circ}\), \(BE\) – медиана, \(\angle CBE = 25^{\circ}\). Найдите \(\angle AEB\). Ответ дайте в градусах.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, тогда \(CE = BE\), значит треугольник \(CEB\) – равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда \(\angle C = \angle CBE = 25^{\circ}\).

Так как внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника не смежных с ним, то \(\angle AEB = \angle C + \angle CBE = 50^{\circ}\).

Ответ: 50

Задание 5 #5858

В треугольнике \(ABC\): \(\angle B = 90^{\circ}\), \(BE\) – медиана, \(\angle CBE = 22^{\circ}\). Найдите \(\angle BAC\). Ответ дайте в градусах.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, тогда \(AE = BE\), значит треугольник \(AEB\) – равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда \(\angle A = \angle ABE\).

Так как \(\angle B = 90^{\circ}\), \(\angle CBE = 22^{\circ}\), то \(\angle ABE = 90^{\circ} - 22^{\circ} = 68^{\circ}\), откуда \(\angle BAC = 68^{\circ}\).

Ответ: 68

Задание 6 #5859

В треугольнике \(ABC\): \(AD\) и \(BE\) – высоты, пересекающиеся в точке \(F\), \(\angle EFD = 104^{\circ}\). Найдите \(\angle C\). Ответ дайте в градусах.

\(\angle AFE = 180^{\circ} - \angle EFD = 76^{\circ}\), тогда \(\angle FAE = 90^{\circ} - \angle AFE = 14^{\circ}\) (так как \(\angle FEA = 90^{\circ}\)). Треугольник \(ADC\) – прямоугольный. \(\angle C = 90^{\circ} - \angle FAE = 76^{\circ}\).

Ответ: 76

Задание 7 #5860

В треугольнике \(ABC\): \(CE\) и \(BF\) – высоты, пересекающиеся в точке \(T\), \(\angle CTB = 152^{\circ}\). Найдите \(\angle A\). Ответ дайте в градусах.

\(\angle FTC = 180^{\circ} - \angle CTB = 28^{\circ}\), тогда \(\angle TCF = 90^{\circ} - \angle FTC = 62^{\circ}\) (так как \(\angle TFC = 90^{\circ}\)). Треугольник \(AEC\) – прямоугольный. \(\angle A = 90^{\circ} - \angle TCF = 28^{\circ}\).

Ответ: 28