4. Числовые и алгебраические выражения
Чему равно значение выражения \((5-8\sqrt{2})^2\)?
1) \(153 -80\sqrt{2}\) \(\;\;\;\) 2) \(153 + 80\sqrt{2}\) \(\;\;\;\) 3)-103 \(\;\;\;\) 4) 9
Применим формулу \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\). Подставим \(a = 5\), \(b=8\sqrt{2}\). Тогда получим:
\[(5-8\sqrt{2})^2 = 25 - 2\cdot 5 \cdot 8\sqrt{2} + 64\cdot 2 = 25 +128 - 80\sqrt{2} = 153 -80\sqrt{2}\].
Ответ: 1
Какое из данных ниже чисел является значением выражения \(\frac{2}{4-2\sqrt{3}}\)?
1) \( \sqrt{2} + 3\) \(\;\;\;\) 2) \( - \sqrt{2} - 3\) \(\;\;\;\) 3)\(\frac{(\sqrt{2} + 3)}{2}\) \(\;\;\;\) 4) \(\frac{(\sqrt{2} + 3)}{2}\)
Избавимся от иррациональности в знаменателе. Для этого домножим и числитель, и знаменатель на \(4 + 2\sqrt{3}\). Тогда для преобразования знаменателя можно будет применить формулу \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).
\(\frac{2}{4-2\sqrt{3}}=\frac{2(4 + 2\sqrt{3})}{(4 + 2\sqrt{3})(4-2\sqrt{3})} = \frac{2(4 + 2\sqrt{3})}{16 - 4 \cdot 3} = \frac{2(4 + 2\sqrt{3})}{16 - 12} = \frac{2(4 + 2\sqrt{3})}{4} = \frac{4(2 + \sqrt{3})}{4} = 2 + \sqrt{3}\).
Ответ: 1
Какое из данных чисел является значением выражения \((2 + \sqrt{5})(\sqrt{5} - 2)\)?
1) 3 \(\;\;\;\) 2) -3 \(\;\;\;\) 3)1 \(\;\;\;\) 4) -1
Применим формулу \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\). Примем \(a=\sqrt{5}\), \(b=2\).
\[(2 + \sqrt{5})(\sqrt{5} - 2) = 5 - 4 = 1\].
Ответ: 3
Какое из данных чисел является значением выражения \((3 + 2\sqrt{3})(2\sqrt{3} - 3)\)?
1) 3 \(\;\;\;\) 2) -3 \(\;\;\;\) 3) 9 \(\;\;\;\) 4) -9
Применим формулу \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\). Примем \(a=2\sqrt{3}\), \(b=3\).
\[(3 + 2\sqrt{3})(2\sqrt{3} - 3) = 4 \cdot 3 - 9 = 12 - 9 = 3\].
Ответ: 1
Чему равно значение выражения \((3\sqrt{5} + 2)^2\)?
1) 9 \(\;\;\;\) 2) 41 \(\;\;\;\) 3) \(49 - 12\sqrt{5}\) \(\;\;\;\) 4) \(49 + 12\sqrt{5}\)
Применим формулу \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Подставим \(a = 3\sqrt{5}\), \(b=2\). Тогда получим:
\[(3\sqrt{5} + 2)^2 = 9 \cdot 5 + 2 \cdot 2 \cdot 3\sqrt{5} + 4 = 45+4+12\sqrt{5} = 49 + 12\sqrt{5}\].
Ответ: 4
Какое из данных ниже выражений при любых \(x, y\) равно \(\frac{9x^2 - y^2}{(3x-y)^2}\)?
1) \(\frac{x-y}{x+y}\) \(\;\;\;\) 2) \(\frac{x+y}{x-y}\) \(\;\;\;\) 3)\(\frac{3x-y}{3x+y}\) \(\;\;\;\) 4) \(\frac{3x+y}{3x-y}\)
Для преобразования числителя используем формулу \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\). Имеем:
\[9x^2 - y^2 = (3x-y)(3x+y)\].
Тогда имеем: \[\frac{(3x-y)(3x+y)}{(3x-y)^2}=\frac{3x+y}{3x-y}\].
Ответ: 4
Какое из данных ниже выражений при любом \(c\) равно \(\frac{c^2 - 49}{c^2-4c-21}\)?
1) \(\frac{c-7}{c+3}\) \(\;\;\;\) 2) \(\frac{c-7}{c-3}\) \(\;\;\;\) 3)\(\frac{c+7}{c+3}\) \(\;\;\;\) 4) \(\frac{c+7}{c-3}\)
Для преобразования числителя используем формулу \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\). Имеем:
\[c^2 - 49 = (c-7)(c+7)\].
Для того, чтобы разложить на множители знаменатель, найдем корни квадратного уравнения \(c^2-4c-21=0\).
\[D=16-4\cdot (-21) = 100 = 10^2\],
\(c = \frac{4+10}{2}=7\) или \(x = \frac{4-10}{2}=-3\).
Тогда знаменатель можно разложить на множители следующим образом:
\[c^2-4c-21 = (c-7)(c+3)\].
Имеем: \[\frac{(c-7)(c+7)}{(c-7)(c+3)}=\frac{c+7}{c+3}\].
Ответ: 3
