4. Числовые и алгебраические выражения
Найдите значение выражения \((\sqrt{23}+1)^2\).
1) \(22+2\sqrt{23}\qquad \) 2) \(24\qquad \) 3) \(24+2\sqrt{23}\qquad \) 4) \(24+\sqrt{46}\)
Воспользуемся формулой квадрата суммы: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\): \[(\sqrt{23}+1)^2=(\sqrt{23})^2+2\cdot \sqrt{23}\cdot 1+1^2= 23+2\sqrt{23}+1=24+2\sqrt{23}\] Значит, ответ 3.
Ответ: 3
Значение какого из данных ниже выражений является иррациональным числом?
1) \(\sqrt{18}\cdot \sqrt{8} \qquad \qquad\) 2) \((\sqrt{22}-\sqrt{7})(\sqrt{22}+\sqrt{7})\qquad \qquad\) 3) \(\dfrac{\sqrt{44}}{\sqrt{11}}\qquad \qquad\) 4) \(\sqrt{8}-4\sqrt2\)
1) Преобразуем \(\sqrt{18}\cdot \sqrt{8}=\sqrt{18\cdot 8}=\sqrt{(2\cdot 3\cdot 3)\cdot (2\cdot 2\cdot 2)}=\sqrt{2^4\cdot 3^2}=2^2\cdot 3=12\) – рациональное.
2) Воспользовавшись формулой разности квадратов \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\), получим \((\sqrt{22})^2-(\sqrt{7})^2=22-7=15\). Это число рациональное.
3) Так как \(\dfrac{\sqrt{44}}{\sqrt{11}}=\sqrt{\dfrac{44}{11}}=\sqrt4=2\), то это число рациональное.
4) Так как \(\sqrt{8}=\sqrt{2\cdot 4}=2\sqrt2\), то \(\sqrt{8}-4\sqrt2=2\sqrt 2-4\sqrt2=-2\sqrt2\) – иррациональное число.
Следовательно, ответ 4.
Ответ: 4
Значение какого из данных ниже выражений является рациональным числом?
1) \(\sqrt{17}\cdot \sqrt{19} \qquad \qquad\) 2) \((\sqrt{11}-\sqrt{20})(\sqrt{11}+\sqrt{20})\qquad \qquad\) 3) \(\dfrac{\sqrt{48}}{\sqrt{40}}\qquad \qquad\) 4) \(\sqrt{45}-2\sqrt5\)
1) Так как \(\sqrt{17}\cdot \sqrt{19}=\sqrt{17\cdot 19}=\sqrt{323}\), а числа \(323\) нет в таблице квадратов, то есть квадратный корень из числа \(323\) не извлекается, то число \(\sqrt{323}\) – иррациональное.
2) Воспользовавшись формулой разности квадратов \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\), получим \((\sqrt{11})^2-(\sqrt{20})^2=11-20=-9\). Это число рациональное.
3) Так как \(\dfrac{\sqrt{48}}{\sqrt{40}}=\sqrt{\dfrac{48}{40}}=\sqrt{\dfrac65}\), то это число иррациональное.
4) Так как \(\sqrt{45}=\sqrt{5\cdot 9}=\sqrt5\cdot \sqrt 9=3\sqrt5\), то \(\dfrac{\sqrt{48}}{\sqrt{40}}=3\sqrt 5-2\sqrt5=\sqrt5\) – иррациональное число.
Следовательно, ответ 2.
Ответ: 2
Какое из данных чисел является значением выражения \((\sqrt 9-4)(\sqrt 9-4)\)?
1) \(-7 \qquad \qquad\) 2) \(1\qquad \qquad\) 3) \(-1\qquad \qquad\) 4) \(25\)
Заметим, что \(\sqrt 9=3\). Заметим также, что у нас есть произведение двух одинаковых скобок, следовательно, так как \(a\cdot a=a^2\), то наше выражение равно \[(3-4)(3-4)=(3-4)^2=(-1)^2=1\]Следовательно, ответ 2.
Ответ: 2
Какое из данных чисел является значением выражения \((\sqrt 5-3)(\sqrt 5+3)\)?
1) \(2 \qquad \qquad\) 2) \(-4\qquad \qquad\) 3) \(4\qquad \qquad\) 4) \(14\)
Воспользуемся формулой разности квадратов: \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\). Тогда \[(\sqrt 5-3)(\sqrt 5+3)=(\sqrt 5)^2-3^2=5-9=-4\] Следовательно, ответ 2.
Ответ: 2
Какое из данных чисел является значением выражения \(\dfrac3{6-\sqrt{21}}\)?
1) \(\dfrac{\sqrt{21}-6}{5} \qquad \qquad\) 2) \(\dfrac{\sqrt{21}+6}5\qquad \qquad\) 3) \(\dfrac{-6-\sqrt{21}}{15}\qquad \qquad\) 4) \(\dfrac{6-\sqrt{21}}5\)
В данном случае нужно избавиться от иррациональности в знаменателе. Умножим числитель и знаменатель дроби на \(6+\sqrt{21}\), тогда в знаменателе получится формула \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\): \[\dfrac{3(6+\sqrt{21})}{(6-\sqrt{21})(6+\sqrt{21})}= \dfrac{3(6+\sqrt{21})}{6^2-21}=\dfrac{6+\sqrt{21}}5\] Следовательно, ответ 2.
Ответ: 2
