Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Темы отсутствуют
Кликните, чтобы открыть меню

18. Площади геометрических фигур

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Площадь круга или сектора

Задание 1 #6144

Внутри большой окружности расположена маленькая, радиус которой в 2,5 раза меньше, чем радиус большой окружности. Найдите отношение площади зеленой области \(U\) к площади круга, ограниченного большой окружностью.

Обозначим радиус меньшей из окружностей за \(r\), тогда радиус большей окружности \(2,5\cdot r\).
Площадь круга, ограниченного окружностью радиуса \(R\), равна \(\pi R^2\).
Площадь меньшего круга равна \(\pi r^2\), а площадь большего равна \(\pi \cdot (2,5r)^2 = 6,25\pi r^2\).
Площадь области \(U\) равна разности площадей большего и меньшего кругов и равна \(6,25\pi r^2 - \pi r^2 = 5,25\pi r^2\).
Искомое отношение площадей есть \(\dfrac{5,25\pi r^2}{6,25\pi r^2} = 0,84\).

Ответ: 0,84

Задание 2 #6140

На клетчатой бумаге нарисован круг площадью \(2,8\). Найдите площадь закрашенного сектора.

Заметим, что закрашенная фигура состоит из двух непересекающихся частей, равных \(\frac14\) и \(\frac12\) от \(\frac14\) круга:


 

Таким образом, ее площадь равна \[\dfrac14S+\dfrac12\cdot \left(\dfrac14S\right)=\dfrac38S=\dfrac38\cdot 2,8=1,05.\]

Ответ: 1,05

Задание 3 #6141

Найдите площадь кольца, ограниченного концентрическими окружностями, радиусы которых равны \(\dfrac 4{\sqrt{\pi}}\) и \(\dfrac 2{\sqrt{\pi}}\).

Для того, чтобы найти площадь кольца, нужно из площади большего круга вычесть площадь меньшего круга: \[S=\pi\cdot \left(\dfrac 4{\sqrt{\pi}}\right)^2- \pi\cdot \left(\dfrac 2{\sqrt{\pi}}\right)^2= \pi\cdot \left( \dfrac{16}{\pi}-\dfrac4{\pi}\right)=12\]

Ответ: 12

Задание 4 #6142

Длина окружности с центром в точке \(O\) равна 12. \(\angle AOB = 120^{\circ}\), точки \(A\) и \(B\) лежат на окружности и разбивают её на две дуги. Во сколько раз длина большей из получившихся дуг превосходит длину меньшей?

Длины дуг относятся так же, как их градусные меры. Так как \(O\) – центр окружности, то \(\angle AOB\) – центральный.

Градусная мера дуги, меньшей, чем полуокружность, есть градусная мера центрального угла, который на неё опирается. Тогда градусная мера меньшей из дуг равна \(120^{\circ}\), а большей из дуг \(240^{\circ}\).

Градусная мера большей дуги в \(240 : 120 = 2\) раза больше, чем градусная мера меньшей дуги.

Ответ: 2

Задание 5 #6143

Длина окружности с центром в точке \(O\) равна 18 см. Площадь сектора \(AOB\) равна \(\dfrac{18}{\pi}\) см\(^2\). Найдите длину дуги \(AB\) этого сектора. Ответ дайте в сантиметрах.

Длина окружности равна \(2\pi R\), где \(R\) – радиус этой окружности. Для данной окружности \(2\pi R = 18\) см, тогда \(R = \dfrac{9}{\pi}\) см.

Площадь сектора, градусная мера дуги которого есть \(\alpha\) равна \(\pi R^2 \cdot \dfrac{\alpha}{360}\).   Длина дуги с градусной мерой \(\alpha\) равна \(2\pi R\cdot \dfrac{\alpha}{360}\).   Из этих формул видно, что длина дуги с градусной мерой \(\alpha\) получится из площади сектора, градусная мера дуги которого есть \(\alpha\), при помощи умножения этой площади на \(\dfrac{2}{R}\).

Длина дуги \(AB\) данного сектора равна \(\dfrac{18}{\pi} \cdot \dfrac{2\pi}{9} = 4\) см.

Ответ: 4