Подобие треугольников и средняя линия треугольника

Рассмотрим чертеж колодца с “журавлем”, когда конец короткого плеча поднимется на 1 м:



Обозначим концы “журавля” в начальном положении за \(A\) и \(B\), в конечном – за \(A'\) и \(B'\). Мы получаем подобные равнобедренные треугольники \(OAA'\) и \(OBB'\). Следовательно, \[\dfrac{AA'}{BB'}=\dfrac{OA}{OB}\quad\Rightarrow\quad BB'=1,5\] (так как \(AA'=1\) по условию).

Ответ: 1,5

Заметим, что малая и большая опоры, крыша и земля образуют трапецию (в которой малая и большая опоры – это основания). Для этой трапеции средняя опора является средней линией (так как пересекает одну из боковых сторон в середине и параллельна основаниям). Так как средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований, то длина средней опоры равна \((1,8+2,8):2=2,3\).

Ответ: 2,3

Заметим, что малая и большая опоры, крыша и земля образуют трапецию (в которой малая и большая опоры – это основания). Для этой трапеции средняя опора является средней линией (так как пересекает одну из боковых сторон в середине и параллельна основаниям). Так как средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований, то \((1,7+x):2=2,1\), где \(x\) – длина большой опоры. Следовательно, из этого уравнения \(x=2,5\).

Ответ: 2,5

Заметим, что малая и большая опоры, крыша и земля образуют трапецию (в которой малая и большая опоры – это основания). Для этой трапеции средняя опора является средней линией (так как пересекает одну из боковых сторон в середине и параллельна основаниям). Так как средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований, то \((2,5+x):2=2,2\), где \(x\) – длина малой опоры. Следовательно, из этого уравнения \(x=1,9\).

Ответ: 1,9

Отметим точки:



Получаем два подобных треугольника \(ABC\) и \(AB'C'\). Длина тени человека равна длине отрезка \(AC\). Тогда \[\dfrac{AC}{AC'}=\dfrac{BC}{B'C'}\quad\Rightarrow\quad \dfrac{AC}{12+AC}=\dfrac{1,8}{5,4}\quad\Rightarrow\quad AC=6\]

Ответ: 6

Отметим точки:



Получаем два подобных треугольника \(ABC\) и \(AB'C'\). Длина тени человека равна длине отрезка \(AC\), искомое расстояние равно длине отрезке \(CC'\). Тогда \[\dfrac{AC}{AC'}=\dfrac{BC}{B'C'}\quad\Rightarrow\quad \dfrac{1,9}{1,9+CC'}=\dfrac{2}{8}\quad\Rightarrow\quad CC'=5,7\]

Ответ: 5,7

Рассмотрим чертеж колодца с “журавлем”, когда конец короткого плеча поднимется на 1,5 м:



Обозначим концы “журавля” в начальном положении за \(A\) и \(B\), в конечном – за \(A'\) и \(B'\). Мы получаем подобные равнобедренные треугольники \(OAA'\) и \(OBB'\). Следовательно, \[\dfrac{AA'}{BB'}=\dfrac{OA}{OB}\quad\Rightarrow\quad BB'=2\] (так как \(AA'=1,5\) по условию).

Ответ: 2