Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

15. Задачи прикладного характера по геометрии

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Подобие треугольников и средняя линия треугольника

Задание 1 #8716

Проектор полностью освещает экран В высотой 160 см, расположенный на расстоянии 300 см от проектора. Найдите, на каком наименьшем расстоянии от проектора нужно расположить экран А высотой 80 см. чтобы он был полностью освещен, если настройки проектора остаются неизменными. Ответ дайте в сантиметрах.

Расстояние от проектора до экрана – это перпендикуляр. Следовательно, можно рассмотреть два прямоугольных треугольника \(QWE\) и \(QRT\):

Заметим, что треугольники \(QME\) и \(QNT\) равнобедренные, поэтому \(WE=\frac{1}{2} ME=40 \) см и \(RT=\frac{1}{2}NT=80\) см. Из условия следует, что \(QR=300\) см.

Треугольники \(QWE\) и \(QRT\) подобны по двум углам, поэтому \(\frac{QW}{QR}=\frac{WE}{RT}\). По свойству пропорции \(QW=\frac{WE}{RT}\cdot QR=\frac{40 \cdot 300}{80} = 150\).

Ответ: 150

Задание 2 #8717

Проектор полностью освещает экран A высотой 140 см, расположенный на расстоянии 210 см от проектора. Найдите, на каком наименьшем расстоянии от проектора нужно расположить экран B высотой 360 см. чтобы он был полностью освещен, если настройки проектора остаются неизменными. Ответ дайте в сантиметрах.

Расстояние от проектора до экрана – это перпендикуляр. Следовательно, можно рассмотреть два прямоугольных треугольника \(QWE\) и \(QRT\):

Заметим, что треугольники \(QME\) и \(QNT\) равнобедренные, поэтому \(WE=\frac{1}{2} ME=70 \) см и \(RT=\frac{1}{2}NT=180\) см. Из условия следует, что \(QW=210\) см.

Треугольники \(QWE\) и \(QRT\) подобны по двум углам, поэтому \(\frac{QW}{QR}=\frac{WE}{RT}\). По свойству пропорции \(QR=\frac{RT}{WE}\cdot QW=\frac{180 \cdot 210}{70} = 540\).

Ответ: 540

Задание 3 #6181

На рисунке изображен колодец с “журавлем”. Короткое плечо имеет длину 3 м, а длинное плечо — 4 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого плеча поднимется на 1,5 м?

Рассмотрим чертеж колодца с “журавлем”, когда конец короткого плеча поднимется на 1,5 м:



Обозначим концы “журавля” в начальном положении за \(A\) и \(B\), в конечном – за \(A'\) и \(B'\). Мы получаем подобные равнобедренные треугольники \(OAA'\) и \(OBB'\). Следовательно, \[\dfrac{AA'}{BB'}=\dfrac{OA}{OB}\quad\Rightarrow\quad BB'=2\] (так как \(AA'=1,5\) по условию).

Ответ: 2

Задание 4 #5563

На рисунке изображен колодец с “журавлем”. Короткое плечо имеет длину 4 м, а длинное плечо — 6 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого плеча поднимется на 1 м?

Рассмотрим чертеж колодца с “журавлем”, когда конец короткого плеча поднимется на 1 м:



Обозначим концы “журавля” в начальном положении за \(A\) и \(B\), в конечном – за \(A'\) и \(B'\). Мы получаем подобные равнобедренные треугольники \(OAA'\) и \(OBB'\). Следовательно, \[\dfrac{AA'}{BB'}=\dfrac{OA}{OB}\quad\Rightarrow\quad BB'=1,5\] (так как \(AA'=1\) по условию).

Ответ: 1,5

Задание 5 #5565

Наклонная крыша установлена на трех вертикальных опорах, основания которых расположены на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см. рис.). Высота малой опоры составляет 1,8 м, высота большой опоры 2,8 м. Найдите высоту средней опоры. Ответ дайте в метрах.

Заметим, что малая и большая опоры, крыша и земля образуют трапецию (в которой малая и большая опоры – это основания). Для этой трапеции средняя опора является средней линией (так как пересекает одну из боковых сторон в середине и параллельна основаниям). Так как средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований, то длина средней опоры равна \((1,8+2,8):2=2,3\).

Ответ: 2,3

Задание 6 #5566

Наклонная крыша установлена на трех вертикальных опорах, основания которых расположены на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см. рис.). Высота малой опоры составляет 1,7 м, высота средней опоры 2,1 м. Найдите высоту большой опоры. Ответ дайте в метрах.

Заметим, что малая и большая опоры, крыша и земля образуют трапецию (в которой малая и большая опоры – это основания). Для этой трапеции средняя опора является средней линией (так как пересекает одну из боковых сторон в середине и параллельна основаниям). Так как средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований, то \((1,7+x):2=2,1\), где \(x\) – длина большой опоры. Следовательно, из этого уравнения \(x=2,5\).

Ответ: 2,5

Задание 7 #5567

Наклонная крыша установлена на трех вертикальных опорах, основания которых расположены на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см. рис.). Высота большой опоры составляет 2,5 м, высота средней опоры 2,2 м. Найдите высоту малой опоры. Ответ дайте в метрах.

Заметим, что малая и большая опоры, крыша и земля образуют трапецию (в которой малая и большая опоры – это основания). Для этой трапеции средняя опора является средней линией (так как пересекает одну из боковых сторон в середине и параллельна основаниям). Так как средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований, то \((2,5+x):2=2,2\), где \(x\) – длина малой опоры. Следовательно, из этого уравнения \(x=1,9\).

Ответ: 1,9