21. Уравнения и неравенства, их системы. Алгебраические выражения
Найдите значение выражения \(61a-11b+13\), если \(\dfrac{2a-7b+5}{7a-2b+5}=9\).
При условии, что \(7a-2b+5\ne 0\), равенство можно переписать в виде \[2a-7b+5=9(7a-2b+5)\quad\Rightarrow\quad 61a-11b+40=0\] Следовательно, \(61a-11b+13=(61a-11b+40)-27=0-27=-27\).
Ответ: -27
Найдите значение выражения \(19a-7b+12\), если \(\dfrac{5a-8b+2}{8a-5b+2}=3\).
При условии \(8a-5b+2\ne 0\) равенство можно переписать в виде \(5a-8b+2=3(8a-5b+2)\), откуда \(19a-7b+4=0\). Следовательно, \(19a-7b+12=(19a-7b+4)+8=0+8=8\).
Ответ: 8
Найдите значение выражения \(33a-23b+71\), если \(\dfrac{3a-4b+8}{4a-3b+8}=9\).
При условии \(4a-3b+8\ne 0\) равенство можно переписать \(3a-4b+8=9(4a-3b+8)\), откуда \(33a-23b+64=0\). Следовательно, \(33a-23b+71=(33a-23b+64)+7=0+7=7\).
Ответ: 7
Найдите значение выражения \((a^3-16a)\cdot \left(\dfrac1{a+4}-\dfrac1{a-4}\right)\) при \(a=-45\).
Преобразуем: \[a(a^2-16)\cdot \dfrac{a-4-(a+4)}{(a-4)(a+4)}=a(a-4)(a+4)\cdot \dfrac{-8}{(a-4)(a+4)}=-8a\] Следовательно, значение выражения равно \(-8\cdot (-45)=360\).
Ответ: 360
Найдите значение выражения \(\dfrac{4x-9y}{2\sqrt x-3\sqrt y}-\sqrt y\), если \(\sqrt x+\sqrt y=7\).
Заметим, что по формуле разности квадратов \(4x-9y=(2\sqrt x-3\sqrt y)(2\sqrt x+3\sqrt y)\), следовательно, \[\dfrac{(2\sqrt x-3\sqrt y)(2\sqrt x+3\sqrt y)}{2\sqrt x-3\sqrt y}-\sqrt y=2\sqrt x+3\sqrt y-\sqrt y=2(\sqrt x+\sqrt y)=2\cdot 7=14\]
Ответ: 14
Найдите значение выражения \(\dfrac{p(a)}{p(6-a)}\), если \(p(b)=\dfrac{b(6-b)}{b-3}\).
Имеем: \(p(a)=\dfrac{a(6-a)}{a-3}\).
Чтобы найти \(p(6-a)\), нужно в формулу \(p(b)=\frac{b(6-b)}{b-3}\) везде вместо \(b\) подставить \(6-a\): \[p(6-a)=\dfrac{(6-a)(6-(6-a))}{6-a-3}=\dfrac{(6-a)a}{3-a}\] Тогда \[\dfrac{p(a)}{p(6-a)}=\dfrac{a(6-a)}{a-3}:\dfrac{(6-a)a}{3-a}=-1\]
Ответ: -1
Найдите \(f(3)\), если \(f(x-1)=7^{6-x}\).
\(f(3)=f(4-1)=7^{6-4}=49\) (нужно вместо \(x\) подставить \(4\)).
Ответ: 49
