Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Темы отсутствуют
Кликните, чтобы открыть меню

18. Площади геометрических фигур

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Площадь параллелограмма, ромба, прямоугольника и квадрата

Задание 1 #6111

Стороны параллелограмма равны \(9\) и \(15\). Высота, опущенная на первую сторону, равна \(10\). Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.

Площадь параллелограмма равна произведению высоты на сторону, к которой высота проведена. Следовательно, с одной стороны, площадь \(S=9\cdot 10\), с другой стороны, \(S=15\cdot h\), где \(h\) – высота, которую нужно найти.
Следовательно, \[9\cdot 10=15\cdot h\quad\Leftrightarrow\quad h=6\]

Ответ: 6

Задание 2 #6112

Площадь параллелограмма равна \(40\), две его стороны равны \(5\) и \(10\). Найдите большую высоту параллелограмма.

Площадь параллелограмма равна произведению высоты на сторону, к которой высота проведена: \(S=ah\). Тогда \(h=S:a\). Следовательно, чем больше \(a\), тем меньше \(h\) (при фиксированном \(S\)). Таким образом, большая высота равна \[h=\dfrac{40}5=8\]

Ответ: 8

Задание 3 #6113

Диагонали ромба относятся как \(4:3\). Периметр ромба равен \(200\). Найдите высоту ромба.

Отрезок \(HK\) – высота ромба. Так как \(AB\parallel DC\) и \(HK\perp AB\), то \(HK\perp DC\).

 

Так как у ромба все стороны равны, то его сторона равна \(AB=200:4=50\). Следовательно, площадь ромба равна \(S=50HK\) (произведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне).
Так как \(AC:BD=4:3\), то можно принять \(AC=4a, BD=3a\). Так как площадь ромба равна полупроизведению диагоналей, то \(S=0,5\cdot 4a\cdot 3a=6a^2\), следовательно, \[50HK=6a^2\quad\Rightarrow\quad HK=\dfrac3{25}a^2\] Так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то по теореме Пифагора из \(\triangle AOB\): \[\left(\dfrac32a\right)^2+(2a)^2=AB^2\quad\Rightarrow\quad a^2=400\] Следовательно, \[HK=\dfrac3{25}\cdot 400=48\]

Ответ: 48

Задание 4 #6114

Найдите площадь ромба, если его высота равна \(2\), а острый угол равен \(30^\circ\).

Проведем \(DH\perp AB\).



Так как \(\angle A=30^\circ\), а катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы, то \(AD=2DH=2\cdot 2=4\). Площадь ромба равна произведению высоты на сторону, к которой проведена высота, следовательно, \[S=DH\cdot AB=4\cdot 2=8\] (\(AB=AD\), так как в ромбе по определению все стороны равны)

Ответ: 8

Задание 5 #6115

Найдите площадь ромба, если его диагонали равны \(4\) и \(12\).

Так как площадь ромба равна половине произведения диагоналей, то \[S=0,5\cdot 4\cdot 12=24\]

Ответ: 24

Задание 6 #6116

Площадь ромба равна \(18\). Одна из его диагоналей равна \(12\). Найдите другую диагональ.

Пусть \(d\) – диагональ ромба, которую нужно найти. Так как площадь ромба равна половине произведения диагоналей, то \[18=S=0,5\cdot d\cdot 12\quad\Rightarrow\quad d=3\]

Ответ: 3

Задание 7 #6117

Площадь ромба равна \(6\). Одна из его диагоналей в три раза больше другой. Найдите меньшую диагональ.

Пусть меньшая диагональ равна \(d\), тогда большая равна \(3d\). Так как площадь ромба равна половине произведения диагоналей, то \[6=S=0,5\cdot d\cdot 3d\quad\Rightarrow\quad d=2\]

Ответ: 2