В трапеции \(ABCD\) с основаниями \(AD\) и \(BC\) проведены биссектрисы углов \(A\) и \(B\), пересекающие основания соответственно в точках \(N\) и \(K\). Найдите периметр четырехугольника \(ABNK\), если \(AB=5\).
\(\angle AKB=\angle KBN\) как накрест лежащие при \(AD\parallel BC\) и \(BK\) секущей. Следовательно, \(\angle AKB=\angle ABK\), следовательно, \(\triangle BAK\) равнобедренный. Отсюда \(AB=AK=5\).
Аналогично, \(\angle BNA=\angle NAK=\angle NAB\), следовательно, \(\triangle ABN\) – равнобедренный. Отсюда \(AB=BN=5\).
Заметим, что \(AK=BN=5\) и \(AK\parallel BN\), следовательно, по признаку \(ABNK\) – параллелограмм. Следовательно, \(NK=AB=5\). Следовательно, периметр \(ABNK\) равен \(5+5+5+5=20\).
Ответ: 20