Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Темы отсутствуют
Кликните, чтобы открыть меню

18. Площади геометрических фигур

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Площадь трапеции

Задание 1 #6129

Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны \(6\) и \(2\), большая боковая сторона составляет с основанием угол \(45^\circ\).

Проведем высоту \(CH\).



Так как \(\angle HBC=45^\circ\), то \(\angle HCB=45^\circ\). Следовательно, \(\triangle HBC\) равнобедренный и \(HB=HC\).
\(ADCH\) – прямоугольник, следовательно, \(AH=DC=2\). Тогда \(CH=HB=6-2=4\). Тогда площадь трапеции равна \[S=\dfrac{AB+DC}2\cdot CH=\dfrac{2+6}2\cdot 4=16\]

Ответ: 16

Задание 2 #6130

Основания прямоугольной трапеции равны \(12\) и \(4\). Ее площадь равна \(64\). Найдите острый угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Проведем высоту \(CH\).



\(ADCH\) – прямоугольник, следовательно, \(AH=DC=4\). Тогда \(HB=12-4=8\). Площадь трапеции равна \[64=\dfrac{AB+DC}2\cdot CH=\dfrac{4+12}2\cdot CH\quad\Rightarrow\quad CH=8\] Заметим, что мы получили, что \(CH=HB=8\). То есть \(\triangle CHB\) равнобедренный, значит, углы при основании равны, то есть \(\angle HCB=\angle HBC\). Так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна \(90^\circ\), то \(\angle B=\angle HBC=90^\circ:2=45^\circ\).

Ответ: 45

Задание 3 #6131

Основания трапеции равны \(18\) и \(6\), боковая сторона, равная \(7\), образует с одним из оснований угол \(150^\circ\). Найдите площадь трапеции.

Пусть \(AD=7\), тогда \(\angle ADC=150^\circ\). По свойству трапеции \(\angle DAB=180^\circ-150^\circ=30^\circ\). Проведем \(DH\perp AB\).



Рассмотрим \(\triangle ADH\). Катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы, следовательно, \(DH=AD:2=3,5\). Тогда площадь трапеции равна \[S=\dfrac{AB+DC}2\cdot DH=\dfrac{18+6}2\cdot 3,5=42\]

Ответ: 42

Задание 4 #6132

Основания трапеции равны \(27\) и \(9\), боковая сторона равна \(8\). Площадь трапеции равна \(72\). Найдите острый угол трапеции, прилежащий к данной боковой стороне. Ответ дайте в градусах.

Пусть \(AD=8\). Проведем \(DH\perp AB\).



Тогда площадь трапеции равна \[72=\dfrac{AB+DC}2\cdot DH=\dfrac{27+9}2\cdot DH\quad\Rightarrow\quad DH=4\] Рассмотрим прямоугольный \(\triangle ADH\). Так как катет \(DH\) равен половине гипотенузы \(AD\), то угол \(DAH\) равен \(30^\circ\).

Ответ: 30

Задание 5 #6133

Основания равнобедренной трапеции равны \(14\) и \(26\), а ее боковые стороны равны \(10\). Найдите площадь трапеции.

Проведем высоту \(BH\). По свойству равнобедренной трапеции \(AH=(AD-BC):2=(26-14):2=6\).



Тогда из прямоугольного треугольника \(ABH\): \[BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8\] Тогда площадь трапеции: \[S=\dfrac{AD+BC}2\cdot BH=\dfrac{26+14}2\cdot 8=160\]

Ответ: 160

Задание 6 #6134

Основания равнобедренной трапеции равны \(7\) и \(13\), а ее площадь равна \(40\). Найдите боковую сторону трапеции.

Проведем высоту \(BH\).



Площадь трапеции равна \[40=\dfrac{AD+BC}2\cdot BH=\dfrac{7+13}2\cdot BH\quad\Rightarrow\quad BH= 4\] Рассмотрим прямоугольный \(\triangle ABH\). По свойству равнобедренной трапеции \(AH=(AD-BC):2=(13-7):2=3\). Следовательно, \[AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=5\]

Ответ: 5

Задание 7 #6135

Основания равнобедренной трапеции равны \(14\) и \(26\), а ее периметр равен \(60\). Найдите площадь трапеции.

Проведем высоту \(BH\). По свойству равнобедренной трапеции \(AH=(AD-BC):2=(26-14):2=6\).



Так как периметр трапеции равен \(60\), а боковые стороны равны, то \[AB=\dfrac{60-14-26}2=10\] Тогда из прямоугольного треугольника \(ABH\): \[BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8\] Тогда площадь трапеции: \[S=\dfrac{AD+BC}2\cdot BH=\dfrac{26+14}2\cdot 8=160\]

Ответ: 160