Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Темы отсутствуют
Кликните, чтобы открыть меню

23. Исследование функций и их графиков

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Функции с точкой разрыва

Задание 1 #5158

Постройте график функции \[y=4-\dfrac{x+1}{x^2+x}\,.\]

Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) не имеет с графиком общих точек.

ОДЗ функции: \(x^2+x\ne 0\), откуда \(x\ne -1;0\). При этих значениях \(x\) функцию можно переписать в виде \[y=4-\dfrac1x\quad (x\ne -1)\] Таким образом, нам нужно изобразить график преобразованной функции и выколоть точку с абсциссой \(x=-1\).
Графиком данной функции является гипербола.
Изображать график будем следующим образом: \[y_1=-\dfrac 1x \ \rightarrow \ y_2=-\dfrac1x +4\] График \(y_1\) – это стандартная гипербола, находящаяся во 2 и 4 четвертях:



Чтобы получить график функции \(y_2\) из графика функции \(y_1\), нужно поднять график \(y_1\) на 4 единицы вверх (по оси \(Oy\)):



(если у графика \(y_1\) горизонтальная асимптота совпадала с осью \(Ox\), то у графика \(y_2\) она совпадает с прямой \(y=4\))
Осталось выколоть точку \((-1; 5)\) и мы получим график функции \(y\):


 

Следовательно, горизонтальная прямая \(y=m\) не имеет с графиком \(y\) общих точек, когда либо совпадает с горизонтальной асимптотой, либо проходит через точку \((-1;5)\). Следовательно, это либо \(y=4\), либо \(y=5\).

Ответ: 4; 5

Задание 2 #5159

Постройте график функции \[y=-5+\dfrac{2-x}{x^2-2x}\,.\]

Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) не имеет с графиком общих точек.

ОДЗ функции: \(x^2-2x\ne 0\), откуда \(x\ne 0;2\). При этих значениях \(x\) функцию можно переписать в виде \[y=-5-\dfrac{x-2}{x(x-2)}=-5-\dfrac 1x \quad (x\ne 2)\] Таким образом, нам нужно изобразить график преобразованной функции и выколоть точку с абсциссой \(x=2\).
Графиком данной функции является гипербола.
Изображать график будем следующим образом: \[y_1=-\dfrac 1x \ \rightarrow \ y_2=-\dfrac1x -5\] График \(y_1\) – это стандартная гипербола, находящаяся во 2 и 4 четвертях:



Чтобы получить график функции \(y_2\) из графика функции \(y_1\), нужно опустить график \(y_1\) на 5 единиц вниз (по оси \(Oy\)):



(если у графика \(y_1\) горизонтальная асимптота совпадала с осью \(Ox\), то у графика \(y_2\) она совпадает с прямой \(y=-5\))
Осталось выколоть точку \((2; -5,5)\) и мы получим график функции \(y\):


 

Следовательно, горизонтальная прямая \(y=m\) не имеет с графиком \(y\) общих точек, когда либо совпадает с горизонтальной асимптотой, либо проходит через точку \((2;-5,5)\). Следовательно, это либо \(y=-5\), либо \(y=-5,5\).

Ответ: -5; -5,5

Задание 3 #5160

Постройте график функции \[y=\dfrac{(x^2+2,25)(x-1)}{1-x}\,.\]

Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

ОДЗ функции: \(1-x\ne 0\), откуда \(x\ne 1\). При этих значениях \(x\) функцию можно переписать в виде \[y=-(x^2+2,25)=-x^2-2,25 \quad (x\ne 1)\] Таким образом, нам нужно изобразить график преобразованной функции и выколоть точку с абсциссой \(x=1\).
Графиком данной функции является парабола.
Изображать график будем следующим образом: \[y_1=-x^2\ \rightarrow \ y_2=-x^2-2,25\] График \(y_1\) – это стандартная парабола с вершиной в точке \((0;0)\), ветви которой опущены вниз:



Чтобы получить график функции \(y_2\) из графика функции \(y_1\), нужно опустить график \(y_1\) на 2,25 единиц вниз (по оси \(Oy\)):



Осталось выколоть точку \((1; -3,25)\) и мы получим график функции \(y\):


 

Прямая \(y=m\) – горизонтальная прямая. Она будет иметь с графиком \(y\) одну общую точку, когда будет проходить через вершину параболы \(y\) или когда будет проходить через точку \((1;-3,25)\). Если вершина графика \(y_1\) находилась в точке \((0;0)\), то вершина графика \(y\) находится в точке \((0;-2,25)\). Следовательно, \(y=-2,25\) и \(y=-3,25\) – прямые, которые будут иметь с данной параболой одну точку пересечения.

Ответ: -3,25; -2,25

Задание 4 #5161

Постройте график функции \[y=\dfrac{(x^2+1)(x+2)}{-2-x}\,.\]

Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

ОДЗ функции: \(-2-x\ne 0\), откуда \(x\ne -2\). При этих значениях \(x\) функцию можно переписать в виде \[y=-(x^2+1)=-x^2-1 \quad (x\ne -2)\] Таким образом, нам нужно изобразить график преобразованной функции и выколоть точку с абсциссой \(x=-2\).
Графиком данной функции является парабола.
Изображать график будем следующим образом: \[y_1=-x^2\ \rightarrow \ y_2=-x^2-1\] График \(y_1\) – это стандартная парабола с вершиной в точке \((0;0)\), ветви которой опущены вниз:



Чтобы получить график функции \(y_2\) из графика функции \(y_1\), нужно опустить график \(y_1\) на 1 единицу вниз (по оси \(Oy\)):



Осталось выколоть точку \((-2; -5)\) и мы получим график функции \(y\):


 

Прямая \(y=m\) – горизонтальная прямая. Она будет иметь с графиком \(y\) одну общую точку, когда будет проходить через вершину параболы \(y\) или когда будет проходить через точку \((-2;-5)\). Если вершина графика \(y_1\) находилась в точке \((0;0)\), то вершина графика \(y\) находится в точке \((0;-1)\). Следовательно, \(y=-1\) и \(y=-5\) – прямые, которые будут иметь с данной параболой одну точку пересечения.

Ответ: -5;-1

Задание 5 #5162

Постройте график функции \[y=\dfrac{9x-1}{9x^2-x}\,.\]

Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=mx\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

ОДЗ функции: \(9x^2-x\ne 0\), откуда \(x\ne 0;\frac19\). При этих значениях \(x\) функцию можно переписать в виде \[y=\dfrac 1x \quad (x\ne \frac19)\] Таким образом, нам нужно изобразить график преобразованной функции и выколоть точку \(\left(\frac19; 9\right)\):


 

Следовательно, прямая \(y=mx\) (проходящая через начало координат) будет иметь с графиком \(y\) одну общую точку, если будет проходить через точку \(\left(\frac19; 9\right)\).
Найдем \(m\): \(9=m\cdot \frac19\), откуда \(m=81\).

Ответ: 81