Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

6. Решение простейших уравнений и систем уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Системы линейных уравнений

Задание 1 #4789

Решите систему уравнений \(\begin{cases} 5x+4y=-4,\\ -3x-2y=2. \end{cases}\)  

В ответе запишите сумму решений \(x\) и \(y\).

В данном случае удобно решить систему путем сложения уравнений. Для этого умножим второе уравнение на 2 и получим \(-6x-4y=4\). Теперь сложим оба уравнения и полученное равенство запишем вместо, например, первого уравнения: \[\begin{aligned} &\begin{cases} 5x+4y+(-6x-4y)=-4+4 \\ -3x-2y=2 \end{cases} \quad\Rightarrow\\[2ex] &\begin{cases} -x=0 \\ -3x-2y=2 \end{cases} \quad\Rightarrow\quad \begin{cases} x=0\\[1ex] y=\dfrac{2+3\cdot 0}{-2}=-1 \end{cases} \end{aligned}\] Тогда ответом будет \(x+y=0-1=-1\).

Ответ: -1

Задание 2 #4790

Решите систему уравнений \(\begin{cases} -5x+5y=-2,\\ -5x+9y=4. \end{cases}\)  

В ответе запишите сумму решений \(x\) и \(y\).

В данном случае удобно решить систему путем вычитания уравнений. Для этого вычтем из второго уравнения первое и полученное равенство запишем вместо, например, первого уравнения: \[\begin{aligned} &\begin{cases} -5x+9y-(-5x+5y)=4-(-2) \\ -5x+9y=4 \end{cases} \quad\Rightarrow\quad \begin{cases} -5x+9y+5x-5y=6 \\ -5x+9y=4 \end{cases} \quad\Rightarrow\\[2ex] &\begin{cases} 4y=6\\[1ex] x=\dfrac{4-9y}{-5} \end{cases}\quad\Rightarrow\quad \begin{cases} y=1,5\\[1ex] x=1,9 \end{cases} \end{aligned}\] Тогда ответом будет \(x+y=1,5+1,9=3,4\).

Ответ: 3,4

Задание 3 #4791

Решите систему уравнений \(\begin{cases} 6x-y=2,\\ -x+y=-1. \end{cases}\)  

В ответе запишите \(x+y\).

В данном случае удобно решить систему путем сложения уравнений. Для этого сложим оба равенства и полученное равенство запишем вместо, например, первого уравнения: \[\begin{aligned} &\begin{cases} 6x-y+(-x+y)=2+(-1) \\ -x+y=-1 \end{cases} \quad\Rightarrow\quad \begin{cases} 5x=1 \\ y=-1+x \end{cases} \quad\Rightarrow\\[2ex] &\begin{cases} x=\frac15\\[1ex] y=-1+\frac15 \end{cases}\quad\Rightarrow\quad \begin{cases} x=0,2\\[1ex] y=-0,8 \end{cases} \end{aligned}\] Тогда ответом будет \(x+y=0,2+(-0,8)=-0,6\).

Ответ: -0,6

Задание 4 #4792

Решите систему уравнений \(\begin{cases} 4x-2y=-9,\\ 3x-3y=-6. \end{cases}\)  

В ответе запишите \(xy\).

Выразим из первого уравнения \(y\) и подставим его во второе уравнение.
Из первого уравнения \(y=\dfrac{-9-4x}{-2}=\dfrac{9+4x}2\). Следовательно, второе уравнение примет вид \[\begin{aligned} &3x-3\cdot \dfrac{9+4x}2=-6 \quad \Rightarrow\\[1ex] &\dfrac{6x}2-\dfrac{27+12x}2=-6\quad\Rightarrow\\[1ex] &\dfrac{6x-(27+12x)}2=-6\quad \Rightarrow\\[1ex] &\dfrac{-27-6x}2=-6 \ \Big|\cdot 2\quad \Rightarrow\\[1ex] &-27-6x=-12 \quad\Rightarrow\\[1ex] &x=\dfrac{-12+27}{-6}=-\dfrac{15}6=-\dfrac52=-2,5 \end{aligned}\] Теперь найдем \(y\): \[y=\dfrac{9+4x}2=\dfrac{9+4\cdot (-2,5)}2=\dfrac{9-10}2=-0,5\] Тогда в ответ нужно записать \(xy=-2,5\cdot (-0,5)=1,25\).

Ответ: 1,25

Задание 5 #8646

Решите систему уравнений \[\begin{cases} 2x +3y = 12,\\ 3x + 2y =24 \end{cases}\].

В ответ запишите сумму решений \(x\) и \(y\).

Выразим \(x\) из первого уравнения системы, и подставим это значение во второе уравнение.

\[\begin{aligned} x = \frac{12-3y}{2},\\ 3 \cdot \frac{12-3y}{2} + 2y = 24 \end{aligned}\]

Найдем решение уравнения с одной переменной. Для этого домножим обе части равенства на 2.

\(3(12-3y) + 4y = 48\),

\(36-9y+4y=48\),

\(5y=-12\),

\(y=-2,4\).

Тогда \(x = \frac{12 + 3 \cdot 2,4}{2} = 9,6\).

Сумма решений равна \(7,2\).

Ответ: 7,2

Задание 6 #8647

Решите систему уравнений \[\begin{cases} -x + 4y &= 15,\\ 2x + 2y &= 8 \end{cases}\].

В ответ запишите произведение решений \(x\) и \(y\).

Решим систему методом сложения. Для этого домножим обе части первого равенства на 2.

\(-2x + 8y = 30\).

Сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы (левую часть с левой, а правую — с правой).

\[\begin{aligned} -2x+8y + 2x +2y = 38,\\ 10y = 38,\\ y= 3,8. \end{aligned}\]

Выразим \(x\) из первого уравнения системы. Получим \(x = 4y-15 = 0,2\).

Произведение решений равно \(0,76\).

Ответ:

Задание 7 #8392

Решите систему уравнений \[\begin{cases}\begin{aligned} x + 5y &= -9,\\ 10x - y &= 12. \end{aligned} \end{cases}\] В ответе укажите значение наибольшего из корней.

Способ 1: метод подстановки Из второго уравнения выражается \(y = 10x - 12\). Подставим это выражение вместо \(y\) в первое уравнение: \(x + 5(10x - 12) = -9\quad\Leftrightarrow\quad 51x -51 = 0 \quad\Leftrightarrow\quad x = 1 \quad\Leftrightarrow\quad y = 10 \cdot 1 - 12 = -2\).

Способ2: метод операций со строками Домножим какую-нибудь из строк на такое число, чтобы одна из переменных при сложении или вычитании новых строк сократилась. Допустим, мы хотим, чтобы сократилась переменная \(x\). Для этого нужно первое уравнение умножить на 10 и вычесть из него второе. Получим уравнение: \[\begin{aligned} 10x + 50y - 10x + y &= -90 - 12\\ 51y &= - 102\\ y &= -2.\end{aligned}\] Подставляя это значение в любое из уравнений, выясним, что \(x = 1\).

Ответ: 1