Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Темы отсутствуют
Кликните, чтобы открыть меню

26. Геометрия. Задачи повышенного уровня сложности

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Задание 1 #5230

В треугольнике \(ABC\) на его медиане \(BM\) отмечены точка \(K\) так, что \(BK:KM=4:1\). Прямая \(AK\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(P\). Найдите отношение площади треугольника \(ABK\) к площади четырехугольника \(KPCM\).

Так как медиана треугольника делит его на два треугольника, равных по площади, то если \(S_{ABC}=S\), то \(S_{ABM}=0,5S\).



\(\triangle ABK\) и \(\triangle AMK\) имеют общую высоту, опущенную из вершины \(A\), следовательно, их площади относятся как основания (к которым проведена эта высота): \[S_{ABK}:S_{AMK}=4:1\] Значит, \(S_{ABK}=\frac45\cdot 0,5S=0,4S\), \(S_{AMK}=0,1S\).

 

Проведем \(ML\parallel KP\):



По теореме Фалеса для \(ML\parallel KP\) имеем \(MK:KB=LP:PB=1:4\). Следовательно, можно принять \(PB=4x\), \(LP=x\). По теореме Фалеса для \(AP\parallel ML\) имеем \(PL:LC=AM:MC=1:1\), следовательно, \(LC=PL=x\). Тогда \(BP:PC=4:2=2:1\). Тогда \(\triangle ABP\) и \(\triangle ACP\) также имеют общую высоту, опущенную из вершины \(A\), следовательно, \[S_{ABP}:S_{ACP}=2:1\] Отсюда \(S_{ACP}=\frac13S_{ABC}=\frac13S\). Тогда \(S_{KPCM}=\frac13S-0,1S=\frac7{30}S\). Следовательно, \[\dfrac{S_{ABK}}{S_{KPCM}}=\dfrac{0,4S}{\frac7{30}S}=\dfrac{12}7\]

Ответ: 12 : 7

Задание 2 #5231

Медиана \(BM\) и биссектриса \(AP\) треугольника \(ABC\) пересекаются в точке \(K\), длина стороны \(AC\) относится к длине стороны \(AB\) как \(9:7\). Найдите отношение площади треугольника \(ABK\) к площадь четырехугольника \(KPCM\).

Если \(AC:AB=9:7=18:14\), то \(AM:AB=9:14\) (\(AM\) – половина \(AC\)). Пусть \(AM=9x\), \(AB=14x\), \(S_{ABC}=S\).



Так как медиана треугольника делит его на два равновеликих, то \(S_{ABM}=\frac12S_{ABC}=\frac12S\). Так как \(AK\) – биссектриса, то \(BK:MK=AB:AM=14:9\) и \(BP:CP=AB:AC=14:18=7:9\).
Так как \(\triangle ABK\) и \(\triangle AMK\) имеют общую высоту из вершины \(A\), то \(S_{ABK}:S_{AMK}=BK:MK=14:9\). Следовательно, \(S_{ABK}=\frac{14}{14+9}S_{ABM}=\frac7{23}S\). Тогда \(S_{AMK}=\frac12S-\frac7{23}S=\frac9{46}S\).

 

Аналогично \(\triangle ABP\) и \(\triangle ACP\) имеют общую высоту из \(A\), следовательно, \(S_{ABP}:S_{ACP}=BP:CP=7:9\), откуда \(S_{ACP}=\frac9{16}S_{ABC}=\frac9{16}S\). Следовательно, \(S_{KPCM}=S_{ACP}-S_{AMK}=\frac{9\cdot 15}{8\cdot 46}S\). Тогда \[S_{ABK}:S_{KPCM}=\dfrac{7S}{23}:\dfrac{9\cdot 15S}{8\cdot 46}=\dfrac{112}{135}\]

Ответ: 112 : 135