Решите уравнение \((x + 1)(x^2 + 2) + (x + 2)(x^2 + 1) = 2\). Если уравнение имеет несколько корней, укажите наибольший из них.
Способ 1 (топорный) Раскроем скобки и приведём подобные члены:
\[\begin{aligned} (x + 1)(x^2 + 2) + (x + 2)(x^2 + 1) &= 2\\ 2x^3 + 3x^2 + 3x + 2 &= 0.\end{aligned}\]
Получаем кубическое уравнение. Для решения нужно разложить левую часть на множители. Нетрудно заметить, что можно объединить члены с одинаковыми коэффициентами: \[\begin{aligned} 2(x^3 + 1) + 3x(x + 1) &= 0\\ 2(x + 1)(x^2 - x + 1) + 3x(x+1) &= 0\\ (x + 1)(2x^2 - 2x + 2 + 3x) &= 0\\ (x + 1)(2 x^2 + x + 2) &= 0\\ \left[\begin{gathered} x + 1 = 0\\ 2 x^2 + x + 2 = 0 \end{gathered}\right.\end{aligned}\]
Получим в первом уравнении \(x = -1\), во втором корней не будет, поскольку \(D = 1 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = -15 < 0\).
Способ 1 (красивый)
Заметим, что два слагаемых не очень сильно друг от друга отличаются. В каждом из них можно выделить выражение \((x + 1)(x^2 + 1)\). Представим теперь уравнение, используя это выражение:
\[\begin{aligned} (x + 1)(x^2 + 1) + (x + 1) + (x + 1)(x^2 + 1) + (x^2 + 1) &= 2\\ 2(x + 1)(x^2 + 1) + (x + 1) + (x^2 - 1) &= 0\\ 2(x + 1)(x^2 + 1) + (x + 1) + (x - 1)(x + 1) &= 0\\ (x + 1)(2x^2 + 2 + 1 + x - 1) &= 0\\ (x + 1)(2x^2 + x + 2) &= 0.\end{aligned}\]
Далее решение совпадает с решением в первом способе.
Ответ: -1