Решение уравнения и неравенства разложением на множители

Так как \(x^4=(x^2)^2\), то уравнение равносильно \[\begin{aligned} &(x^2)^2-(x-20)^2=0\\ &(x^2-(x-20))(x^2+(x-20))=0\quad(\text{по формуле }a^2-b^2=(a-b)(a+b) \ ) \end{aligned}\] Полученное уравнение равносильно \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x^2-x+20=0\\ &x^2+x-20=0\end{aligned}\end{gathered}\right.\] По теореме Виета корнями второго уравнения будут \(x=-5\) и \(x=4\), а первое уравнение не имеет корней, так как его дискриминант отрицательный.

Ответ: −5; 4

Первые три слагаемых можно записать в виде квадрата разности: \(x^4-6x^3+9x^2=(x^2-3x)^2\). Следовательно, уравнение примет вид \((x^2-3x)^2-25=0\). Воспользовавшись формулой разности квадратов \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), получим: \((x^2-3x-5)(x^2-3x+5)=0\). Это уравнение равносильно \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x^2-3x-5=0\\ &x^2-3x+5=0\end{aligned}\end{gathered}\right.\]Дискриминант второго уравнения отрицательный, а первое уравнение имеет корни \(x=\dfrac{3\pm\sqrt{29}}2\).

Ответ: $\frac{3\pm \sqrt{29}}2$

Перенесем все слагаемые в одну сторону и вынесем общие множители: \[\begin{aligned} &x^2(x+3)-16(x+3)=0\quad\Rightarrow\\ &(x+3)(x^2-16)=0\quad\Rightarrow\\ &(x+3)(x-4)(x+4)=0 \quad\Rightarrow\\ &x=-4; -3; 4\end{aligned}\]

Ответ: −4; −3; 4

Вынесем общие множители за скобки: \[\begin{aligned} &x^2(x+4)-(x+4)=0\quad\Rightarrow\\ &(x+4)(x^2-1)=0\quad\Rightarrow\\ &(x+4)(x-1)(x+1)=0\quad\Rightarrow\\ &x=-4; -1;1 \end{aligned}\]

Ответ: −4; −1; 1

Заметим, что \(x^2+2x+1=(x+1)^2\). Следовательно, разложим на множители: \[\begin{aligned} &x(x+1)^2-2(x+1)=0\quad\Rightarrow\\ &(x+1)\left(x(x+1)-2\right)=0\quad\Rightarrow\\ &(x+1)(x^2+x-2)=0\end{aligned}\] Следовательно, либо \(x+1=0\), либо \(x^2+x-2=0\). Значит, корнями исходного уравнения будут \(x=-1\) и \(x=-2;1\).

Ответ: −2; −1; 1

Разложим на множители: \(x^2(x+2)-9(x+2)=0\), откуда \((x+2)(x^2-9)=0\). Тогда \(x+2=0\) или \(x^2-9=0\), следовательно, \(x=-2; 3; -3\).

Ответ: −3; −2; 3

Перенесем слагаемые в левую часть и воспользуемся формулой разности квадратов: \[(x^2)^2-(3x-10)^2=0\quad\Rightarrow\quad (x^2-3x+10)(x^2+3x-10)=0\] Тогда \(x^2-3x+10=0\) или \(x^2+3x-10=0\). Первое уравнение не имеет корней, так как его дискриминант отрицательный. Второе уравнение имеет корни \(x=-5;2\).

Ответ: −5; 2