Решение уравнения и неравенства заменой переменной

Заметим, что если сделать замену \(t=\frac1x\), то уравнение примет вид квадратного: \[t^2+2t-3=0\] По теореме Виета можно найти корни полученного уравнения, это \(t=1\) и \(t=-3\). Следовательно, сделав обратную замену, мы получим: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\dfrac1x=1\\[2ex] &\dfrac1x=-3 \end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Rightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=1\\[2ex] &x=-\dfrac13 \end{aligned}\end{gathered}\right.\]

Ответ: $-\frac13;1$

Видим, что если сделать замену \(t=(x+2)^2\), то получим квадратное уравнение \(t^2-4t-5=0\). Корни полученного уравнения \(t=-1\) и \(t=5\). Сделаем обратную замену:
1) \((x+2)^2=-1\). Это уравнение не имеет решений, так как квадрат любого выражения – величина \(\geqslant 0\);
2) \((x+2)^2=5\). Это уравнение равносильно \(x+2=\pm \sqrt5\), откуда \(x=-2\pm \sqrt5\).

Ответ: $-2\pm \sqrt5$

Сделаем замену \((2x-1)^2=t\). Тогда \(t\geqslant 0\) (так как любое выражение в квадрате – величина неотрицательная). Тогда уравнение примет вид \(9t^2-37t+4=0\). Дискриминант равен \(D=1225=35^2\). Следовательно, корни \[t=\dfrac{37\pm 35}{18}\quad\Rightarrow\quad t_1=\dfrac19, \ t_2=4\] Оба корня подходят под условие \(t\geqslant 0\). Сделаем обратную замену:
1) \((2x-1)^2=\frac19\), откуда \(2x-1=\pm \frac13\), следовательно, \(x=\frac23; \frac13\);
2) \((2x-1)^2=4\), откуда \(2x-1=\pm2\), следовательно, \(x=\frac32; -\frac12\).

Ответ: $-\frac12; \frac13; \frac23; \frac32$

Сделаем замену \(\frac1{x-1}=t\). Тогда получим квадратное уравнение \(t^2-4t-12=0\), корнями которого будут \(t=-2\) и \(t=6\). Следовательно,
1) \(\frac1{x-1}=-2\), откуда \(x=\frac12\);
2) \(\frac1{x-1}=6\), откуда \(x=\frac76\).

Ответ: $\frac12; \frac76$