Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Темы отсутствуют
Кликните, чтобы открыть меню

26. Геометрия. Задачи повышенного уровня сложности

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи на использование дополнительного построения

Задание 1 #5250

Боковые стороны \(AB\) и \(CD\) трапеции \(ABCD\) равны соответственно \(8\) и \(10\), основание \(BC\) равно \(2\). Биссектриса угла \(ADC\) проходит через середину стороны \(AB\). Найдите площадь трапеции.

Так как \(K\) – середина боковой стороны трапеции, то сразу вспоминаем про среднюю линию трапеции. Поэтому проведем \(KM\) – среднюю линию. Тогда \(KM\parallel AD\).



Тогда \(\angle MKD=\angle ADK\) как накрест лежащие при секущей \(KD\) и \(AD\parallel KM\). Отсюда следует, что \(\triangle KMD\) равнобедренный и \(KM=MD=0,5CD=5\). Так как \(KM\) – средняя линия, то она равна полусумме оснований, откуда \(0,5(BC+AD)=5\), значит, \(AD=8\).
Теперь дело за малым, так как если у трапеции известны все стороны, то можно стандартным способом найти ее высоту. Проведем \(BL\perp AD, CH\perp AD\) и введем обозначения, как на рисунке:



Тогда по теореме Пифагора из \(\triangle ABL\) и \(\triangle DCH\): \(h^2=8^2-x^2\) и \(h^2=10^2-(6-x)^2\), следовательно, \[8^2-x^2=10^2-(6-x)^2\quad\Rightarrow\quad x=0\] Следовательно, точки \(A\) и \(L\) совпадают, то есть \(AB\perp AD\) (трапеция прямоугольная). Значит, \(AB\) и есть высота трапеции. Следовательно, площадь \[S_{ABCD}=\dfrac{AD+BC}2\cdot AB=\dfrac{2+8}2\cdot 8=40.\]

Ответ: 40

Задание 2 #5251

Углы при одном из оснований трапеции равны \(77^\circ\) и \(13^\circ\), а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны \(11\) и \(10\). Найдите основания трапеции.

Пусть углы при основании \(AD\) равны \(77^\circ\) и \(13^\circ\). Если продолжить боковые стороны трапеции до пересечения в точке \(O\), то \(\angle AOD=180^\circ-77^\circ-13^\circ=90^\circ\).



В прямоугольном \(\triangle BOC\) \(ON\) – медиана, проведенная из вершины прямого угла, следовательно, она равна половине гипотенузы, то есть \(ON=0,5 BC\). Аналогично \(OM=0,5 AD\). \(*\) Следовательно, \(MN=0,5(AD-BC)\). Так как \(KP\) по построению средняя линия, то она равна \(KP=0,5(AD+BC)\). Так какой из отрезков \(KP\) и \(MN\) равен \(11\), а какой \(10\)? Очевидно, что полусумма двух положительных чисел больше их полуразности. Следовательно, \(KP>MN\). Получаем систему \[\begin{cases} 0,5(AD+BC)=11\\ 0,5(AD-BC)=10 \end{cases} \quad\Rightarrow\quad \begin{cases} AD=21 \\ BC=1 \end{cases}\]

 

\(*\) – здесь еще также нужно доказать, что точки \(O, N, M\) лежат на одной прямой. Так как \(BC\parallel AD\), то \(\angle OCN=\angle ODM\) как соответственные. Медиана, опущенная из вершины прямого угла треугольника, делит его на два равнобедренных треугольника (свойство). Следовательно, \(\angle CON=\angle OCN\) и \(\angle DOM=\angle ODM\). Отсюда \(\angle CON=\angle DOM\). Следовательно, прямые \(ON\) и \(OM\) наклонены к прямой \(OD\) под одинаковым углом, значит, эти прямые совпадают, то есть точки \(O, N, M\) лежат на одной прямой.

Ответ: 21 и 1

Задание 3 #5252

Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны \(3\) и \(4\), а средняя линия равна \(2,5\).

Пусть \(AC=4\), \(BD=3\). Сделаем дополнительное построение: проведем \(CK\parallel BD\).



Тогда \(BCKD\) – параллелограмм, следовательно, \(CK=3\), \(DK=BC\). Следовательно, \(AK=AD+BC\). Так как средняя линия равна полусумме оснований, то сумма оснований равна \(5\), значит, \(AK=5\). Посмотрим на \(\triangle ACK\). Его стороны равны \(3, 4, 5\). Следовательно, он прямоугольный, то есть \(\angle ACK=90^\circ\). Отсюда следует, что \(AC\perp CK\), следовательно, \(AC\perp BD\).
Площадь четырехугольника равна полупроизведению диагоналей на синус угла между ними, \(\sin90^\circ=1\), значит, \[S_{ABCD}=\dfrac12AC\cdot BD=\dfrac12\cdot 4\cdot 3=6.\]

Ответ: 6