Боковые стороны \(AB\) и \(CD\) трапеции \(ABCD\) равны соответственно \(8\) и \(10\), основание \(BC\) равно \(2\). Биссектриса угла \(ADC\) проходит через середину стороны \(AB\). Найдите площадь трапеции.
Так как \(K\) – середина боковой стороны трапеции, то сразу вспоминаем про среднюю линию трапеции. Поэтому проведем \(KM\) – среднюю линию. Тогда \(KM\parallel AD\).
Тогда \(\angle MKD=\angle ADK\) как накрест лежащие при секущей \(KD\) и \(AD\parallel KM\). Отсюда следует, что \(\triangle KMD\) равнобедренный и \(KM=MD=0,5CD=5\). Так как \(KM\) – средняя линия, то она равна полусумме оснований, откуда \(0,5(BC+AD)=5\), значит, \(AD=8\).
Теперь дело за малым, так как если у трапеции известны все стороны, то можно стандартным способом найти ее высоту. Проведем \(BL\perp AD,
CH\perp AD\) и введем обозначения, как на рисунке:
Тогда по теореме Пифагора из \(\triangle ABL\) и \(\triangle DCH\): \(h^2=8^2-x^2\) и \(h^2=10^2-(6-x)^2\), следовательно, \[8^2-x^2=10^2-(6-x)^2\quad\Rightarrow\quad x=0\] Следовательно, точки \(A\) и \(L\) совпадают, то есть \(AB\perp AD\) (трапеция прямоугольная). Значит, \(AB\) и есть высота трапеции. Следовательно, площадь \[S_{ABCD}=\dfrac{AD+BC}2\cdot AB=\dfrac{2+8}2\cdot 8=40.\]
Ответ: 40