6. Решение простейших уравнений и систем уравнений
Найдите корень уравнения \(\dfrac{3x - 4}{x + 43} = -2\).
ОДЗ: \(x \neq -43\). Решим на ОДЗ:
Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{3x - 4 + 2\cdot(x + 43)}{x + 43} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad\dfrac{5x + 82}{x + 43} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(x = -16,4\) – подходит по ОДЗ.
Ответ: -16,4
Найдите корень уравнения \(\dfrac{-x - 8}{x - 8} = 9\).
ОДЗ: \(x \neq 8\). Решим на ОДЗ:
Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{-x - 8 - 9\cdot(x - 8)}{x - 8} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{-10x + 64}{x - 8} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(x = 6,4\) – подходит по ОДЗ.
Ответ: 6,4
Найдите корень уравнения \(\dfrac{7 + 2x}{3 + x} = 3\).
ОДЗ: \(x \neq -3\). Решим на ОДЗ:
Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{7 + 2x - 3\cdot(3 + x)}{3 + x} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad\dfrac{-x - 2}{3 + x} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(x = -2\) – подходит по ОДЗ.
Ответ: -2
Найдите корень уравнения \(\dfrac{7 + 24x}{5 + \frac{4}{3}x} = 3\).
ОДЗ: \(x \neq -\dfrac{15}{4}\). Решим на ОДЗ:
Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{7 + 24x - 15 - 4x}{5 + \frac{4}{3}x} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad\dfrac{20x - 8}{5 + \frac{4}{3}x} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(x = 0,4\) – подходит по ОДЗ.
Ответ: 0,4
Найдите корень уравнения \(\dfrac{12 + 0,3x}{1 + 0,1x} = 7\).
ОДЗ: \(x \neq -10\). Решим на ОДЗ:
Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{12 + 0,3x - 7 - 0,7x}{1 + 0,1x} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad\dfrac{-0,4x + 5}{1 + 0,1x} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(x = 12,5\) – подходит по ОДЗ.
Ответ: 12,5
Найдите корень уравнения \(\dfrac{1 - 2x}{\frac{2}{3} + x} = x\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
ОДЗ: \(x \neq -\dfrac{2}{3}\). Решим на ОДЗ:
Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{1 - 2x - x\cdot\left(\dfrac{2}{3} + x\right)}{\dfrac{2}{3} + x} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \[1 - 2x - x\cdot\left(\dfrac{2}{3} + x\right) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 + 2\dfrac{2}{3}x - 1 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 + \dfrac83x - 1 = 0.\] Дискриминант данного уравнения \[D = \dfrac{64}{9} + 4 = \left(\dfrac{10}{3}\right)^2.\] Корни квадратного уравнения \[x_1 = \dfrac{1}{3}, \ x_2 = -3\] – подходят по ОДЗ. Ответ: \(x = -3\) – наименьший корень.
Ответ: -3
Найдите корень уравнения \(\dfrac{-3 - 5x}{x - 5} = 2x\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
ОДЗ: \(x \neq 5\). Решим на ОДЗ:
Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{-3 - 5x - 2x\cdot(x - 5)}{x - 5} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(-3 - 5x - 2x\cdot(x - 5) = 0\), что равносильно \(2x^2 - 5x + 3 = 0\).
Дискриминант данного уравнения \(D = 1\). Корни квадратного уравнения \(x_1 = 1, \ x_2 = 1,5\) – подходят по ОДЗ. Ответ: \(x = 1\) – наименьший корень.
Ответ: 1
