Функции с модулем x, y

Данная функция имеет вид \(|f(x)|\). Для того, чтобы построить график такой функции, нужно построить график функции \(f(x)\) и затем ту часть графика, что находится ниже оси \(Ox\), симметрично оси абсцисс отобразить наверх.
Построим график \(y=x^2-x-2\). Это парабола, ветви которой направлены вверх, вершина находится в точке \(x_0=\frac12\), \(y_0=-2\,\frac14\). Точки пересечения с осью \(Ox\) ищутся из уравнения \(x^2-x-2=0\). Следовательно, парабола проходит через точки \((-1;0)\) и \((2;0)\).
(Чтобы найти координаты вершины параболы \(y=ax^2+bx+c\), нужно воспользоваться формулами \(x_0=-\frac b{2a}\), \(y_0=y(x_0)\).)

Из рисунка видно, что график \(y=|x^2-x-2|\) может иметь с прямой \(y=k\) две, три или четыре общие точки, или же не иметь общих точек. Следовательно, ответ 4.

Ответ: 4

Данная функция имеет вид \(-|f(x)|\). Для того, чтобы построить график такой функции, нужно построить график функции \(f(x)\), затем ту часть графика, что находится ниже оси \(Ox\), симметрично отобразить наверх (тогда мы получим график \(|f(x)|\)) и затем весь график симметрично оси абсцисс отобразить относительно \(Ox\) (тогда мы получим \(-|f(x)|\)).
Построим график \(y=x^2+5x+4\). Это парабола, ветви которой направлены вверх, вершина находится в точке \(x_0=-\frac52\), \(y_0=-2\,\frac14\). Точки пересечения с осью \(Ox\) ищутся из уравнения \(x^2+5x+4=0\). Следовательно, парабола проходит через точки \((-1;0)\) и \((-4;0)\).
(Чтобы найти координаты вершины параболы \(y=ax^2+bx+c\), нужно воспользоваться формулами \(x_0=-\frac b{2a}\), \(y_0=y(x_0)\).)

Из рисунка видно, что график \(y=-|x^2+5x+4|\) может иметь с прямой \(y=k\) две, три или четыре общие точки, или же не иметь общих точек, причем три точки будет тогда, когда \(y=k\) проходит через вершину параболы, то есть через точку \(\left(-\frac52; -2\frac14\right)\). Следовательно, \(k=-2\frac14=-2,25\).

Ответ: -2,25

Данная функция имеет вид \(|f(x)|\). Для того, чтобы построить график такой функции, нужно построить график функции \(f(x)\), затем ту часть графика, что находится ниже оси \(Ox\), симметрично оси абсцисс отобразить наверх (тогда мы получим график \(|f(x)|\)).
Построим график \(y=x^2-9\). Это парабола, ветви которой направлены вверх. Чтобы построить график данной параболы, можно построить график \(y=x^2\) и опустить его на 9 единиц вниз по оси \(Oy\).

Из рисунка видно, что график \(y=|x^2-9|\) будет иметь две общие точки с прямой \(y=k\), если она будет находиться либо выше прямой \(y=9\) (прямой, проходящей через вершину параболы), либо совпадать с осью абсцисс. Следовательно, либо \(k>9\), либо \(k=0\).

Ответ: k = 0, k > 9

Заметим, что \(x^2=|x|^2\). Следовательно, функцию можно переписать как \[y=\dfrac{3|x|-1}{|x|-3|x|^2}\] Таким образом, данная функция имеет вид \(y=y(|x|)\). Чтобы изобразить график такой функции, нужно изобразить график функции \(y(x)\), затем стереть ту часть графика, что находится левее оси \(Oy\), а часть графика, находящуюся правее \(Oy\), симметрично оси абсцисс отобразить влево.
Значит, рассмотрим \[y=\dfrac{3x-1}{x-3x^2}=-\dfrac{3x-1}{(3x-1)x}\] График данной функции – это график функции \(y=-\frac1x\) с выколотой точкой \(x=\frac13\) (так как \(3x-1\ne0\)).
Графиком \(y=-\frac1x\) является стандартная гипербола, находящаяся во 2 и 4 четвертях.

Прямая \(y=kx\), проходящая через начало координат, не имеет с искомым графиком (который изображен на правом рисунке) общих точек, если
1) проходит через одну из точек \(\left(\frac13; -3\right)\) или \(\left(-\frac13; -3\right)\);
2) совпадает с осью абсцисс.
Если \(y=kx\) проходит через \(\left(\frac13; -3\right)\), то \(-3=k\cdot \frac13\), откуда \(k=-9\).
Аналогично находим остальные \(k=9\) и \(k=0\).

Ответ: -9;0;9