16. Многоугольники. Базовые свойства
В треугольнике \(ABC\): \(\angle C = 35^{\circ}\), внешний угол при вершине \(B\) равен \(91^{\circ}\). Найдите \(\angle A\). Ответ дайте в градусах.
Согласно теореме о внешнем угле треугольника, \(\angle C + \angle A = B_{\text{внеш}}\), тогда \(35^{\circ} + \angle A = 91^{\circ}\), откуда находим \(\angle A = 91^{\circ} - 35^{\circ} = 56^{\circ}\).
Ответ: 56
В треугольнике \(ABC\): \(\angle A = 35^{\circ}\), \(BD\) – высота, \(\angle CBD = 26^{\circ}\). Найдите \(\angle ABC\). Ответ дайте в градусах.
Так как \(BD\) – высота, то \(\angle ADB = 90^{\circ}\). Сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\), тогда \(\angle A + \angle ABD = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}\).
Так как \(\angle ABD = \angle ABC + \angle CBD\), то \(\angle ABD = \angle ABC + 26^{\circ}\). При этом \(\angle A = 35^{\circ}\), тогда \(35^{\circ} + \angle ABC + 26^{\circ} = 90^{\circ}\), откуда находим \(\angle ABC = 29^{\circ}\).
Ответ: 29
В треугольнике \(ABC\): \(\angle A = 27^{\circ}\), \(CD\) – высота, \(\angle BCD = 18^{\circ}\). Найдите \(\angle ACB\). Ответ дайте в градусах.
Так как \(CD\) – высота, то \(\angle ADC = 90^{\circ}\). Сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\), тогда \(\angle A + \angle ACD = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}\).
Так как \(\angle ACD = \angle ACB + \angle BCD\), то \(\angle ACD = \angle ACB + 18^{\circ}\). При этом \(\angle A = 27^{\circ}\), тогда \(27^{\circ} + \angle ACB + 18^{\circ} = 90^{\circ}\), откуда находим \(\angle ACB = 45^{\circ}\).
Ответ: 45
В треугольнике \(ABC\): \(\angle A = 39^{\circ}\), \(BD\) – биссектриса, \(\angle ABD = 30^{\circ}\). Найдите \(\angle C\). Ответ дайте в градусах.
Так как \(BD\) – биссектриса, то \(\angle ABD = \angle DBC\), тогда \(\angle ABC = 2\cdot 30^{\circ} = 60^{\circ}\).
Сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\), тогда \(\angle C = 180^{\circ} - \angle A - \angle ABC = 180^{\circ} - 39^{\circ} - 60^{\circ} = 81^{\circ}\).
Ответ: 81
В треугольнике \(ABC\): \(\angle B = 27^{\circ}\), \(CD\) – биссектриса, \(\angle ACD = 35^{\circ}\). Найдите \(\angle A\). Ответ дайте в градусах.
Так как \(CD\) – биссектриса, то \(\angle ACD = \angle DCB\), тогда \(\angle ACB = 2\cdot 35^{\circ} = 70^{\circ}\).
Сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\), тогда \(\angle A = 180^{\circ} - \angle B - \angle ACB = 180^{\circ} - 27^{\circ} - 70^{\circ} = 83^{\circ}\).
Ответ: 83
В треугольнике \(ABC\): \(AD\) – биссектриса, \(\angle B = 27^{\circ}\), \(\angle CAD = 18^{\circ}\). Найдите \(\angle ADC\). Ответ дайте в градусах.
Так как \(AD\) – биссектриса, то \(\angle BAD = \angle CAD\), тогда \(\angle BAC = 2\cdot 18^{\circ} = 36^{\circ}\).
Сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\), тогда \(\angle C = 180^{\circ} - \angle B - \angle BAC = 180^{\circ} - 27^{\circ} - 36^{\circ} = 117^{\circ}\).
\(\angle CAD + \angle ADC + \angle C = 180^{\circ}\), тогда \(18^{\circ} + \angle ADC + 117^{\circ} = 180^{\circ}\), откуда находим \(\angle ADC = 45^{\circ}\).
Ответ: 45
В треугольнике \(ABC\): \(CD\) – биссектриса, \(\angle B = 63^{\circ}\), \(\angle ACD = 33^{\circ}\). Найдите \(\angle ADC\). Ответ дайте в градусах.
Так как \(CD\) – биссектриса, то \(\angle ACD = \angle DCB\), тогда \(\angle ACB = 2\cdot 33^{\circ} = 66^{\circ}\). Сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\), тогда \(\angle A = 180^{\circ} - \angle B - \angle ACB = 180^{\circ} - 63^{\circ} - 66^{\circ} = 51^{\circ}\).
\(\angle A + \angle ACD + \angle ADC = 180^{\circ}\), тогда \(51^{\circ} + 33^{\circ} + \angle ADC = 180^{\circ}\), откуда находим \(\angle ADC = 96^{\circ}\).
Ответ: 96
