16. Многоугольники. Базовые свойства
В треугольнике \(ABC\): \(\angle C = 90^{\circ}\), \(\sin {\angle BAC} = \dfrac{2}{3}\). Найдите \(AC\), если \(AB = 6\sqrt{5}\).
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего этому углу катета к гипотенузе, тогда \[\dfrac{BC}{AB} = \dfrac{2}{3}\qquad\Rightarrow\qquad BC =
\dfrac{2}{3}AB = 4\sqrt{5}.\]
По теореме Пифагора \(AC^2 = AB^2 - BC^2 = 36\cdot 5 - 16\cdot 5 = 20\cdot 5 = 10^2\), тогда \(AC = 10\).
Ответ: 10
В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90^\circ\), \(CH=4\) – высота, \(BC=\sqrt{17}\). Найдите \(\mathrm{tg}\,\angle A\).
По теореме Пифагора из \(\triangle BCH\): \[BH=\sqrt{17-16}=1\] Следовательно, \[\mathrm{tg}\,\angle BCH=\dfrac{BH}{CH}=0,25\] По свойству прямоугольного треугольника \(\angle BCH=\angle BAC\), следовательно, \(\mathrm{tg}\,\angle A=\mathrm{tg}\,\angle BAC=0,25\).
Ответ: 0,25
В параллелограмме \(ABCD\) известно, что \(AB=3\), \(AD=21\), \(\sin\angle A=\dfrac67\). Найдите большую высоту параллелограмма.
Проведем высоты \(BK\) и \(DH\). Тогда из \(\triangle ADH\) и \(\triangle ABK\): \[\sin\angle A=\dfrac{DH}{AD}\quad {\small{и}}\quad \sin\angle A=\dfrac{BK}{AB}\] откуда \[DH=AD\sin\angle A\quad {\small{и}}\quad BK=AB\sin\angle A\] Так как \(AD>AB\), то \(DH\) – большая высота, следовательно, \[DH=21\cdot \dfrac67=18\]
Ответ: 18
Основания равнобедренной трапеции равны \(51\) и \(65\). Боковые стороны равны \(25\). Найдите синус острого угла трапеции.
Рассмотрим рисунок:
Проведем \(BH\perp AD\). По свойству равнобедренной трапеции \(AH=\frac12\left(AD-BC\right)=7\). Тогда по теореме Пифагора из \(\triangle ABH\): \[BH=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{(25-7)(25+7)}=\sqrt{18\cdot 32}=3\cdot 8=24\] Тогда из \(\triangle ABH\) \[\sin\angle A=\dfrac{BH}{AB}=\dfrac{24}{25}=0,96\]
Ответ: 0,96
Основания равнобедренной трапеции равны \(43\) и \(73\). Косинус острого угла трапеции равен \(\dfrac57\). Найдите боковую сторону трапеции.
Проведем \(BH\perp AD\). По свойству равнобедренной трапеции \(AH=\frac12\left(AD-BC\right)=15\). Тогда из \(\triangle ABH\): \[\dfrac57=\cos\angle A=\dfrac{AH}{AB}\quad\Rightarrow\quad AB=21\]
Ответ: 21
Большее основание равнобедренной трапеции равно \(34\). Боковая сторона равна \(14\). Синус острого угла равен \(\dfrac{2\sqrt{10}}7\). Найдите меньшее основание.
Проведем \(BH\perp AD\). Из \(\triangle ABH\): \[\dfrac{2\sqrt{10}}7=\sin\angle A=\dfrac{BH}{AB}\quad\Rightarrow\quad BH=4\sqrt{10}\] Тогда по теореме Пифагора \[AH=\sqrt{14^2-(4\sqrt{10})^2}=6\] Так как \(AH=0,5(AD-BC)\), то \(BC=AD-2AH=34-12=22\).
Ответ: 22
В треугольнике \(ABC\): \(\angle A = 90^{\circ}\), \(\mathrm{ctg}\, \angle B = 0,6\). Площадь треугольника \(ABC\) равна \(7,5\). Найдите \(AB + AC\).
\[0,6 = \mathrm{ctg}\, \angle B = \dfrac{AB}{AC}.\]
Площадь треугольника \(ABC\) равна \(7,5\), тогда \(7,5 = 0,5\cdot AB\cdot AC\).
Таким образом, \[\dfrac{AB}{AC} = 0,6,\qquad AB\cdot AC = 15.\] Перемножая равенства, получим \(AB^2 = 9\), тогда \(AB = 3\), \(AC = 5\), значит, \(AB + AC = 8\).
Ответ: 8
