16. Многоугольники. Базовые свойства
Большее основание равнобедренной трапеции равно \(34\). Боковая сторона равна \(14\). Синус острого угла равен \(\dfrac{2\sqrt{10}}7\). Найдите меньшее основание.
Проведем \(BH\perp AD\). Из \(\triangle ABH\): \[\dfrac{2\sqrt{10}}7=\sin\angle A=\dfrac{BH}{AB}\quad\Rightarrow\quad BH=4\sqrt{10}\] Тогда по теореме Пифагора \[AH=\sqrt{14^2-(4\sqrt{10})^2}=6\] Так как \(AH=0,5(AD-BC)\), то \(BC=AD-2AH=34-12=22\).
Ответ: 22
Основания равнобедренной трапеции равны \(43\) и \(73\). Косинус острого угла трапеции равен \(\dfrac57\). Найдите боковую сторону трапеции.
Проведем \(BH\perp AD\). По свойству равнобедренной трапеции \(AH=\frac12\left(AD-BC\right)=15\). Тогда из \(\triangle ABH\): \[\dfrac57=\cos\angle A=\dfrac{AH}{AB}\quad\Rightarrow\quad AB=21\]
Ответ: 21
Основания равнобедренной трапеции равны \(51\) и \(65\). Боковые стороны равны \(25\). Найдите синус острого угла трапеции.
Рассмотрим рисунок:
Проведем \(BH\perp AD\). По свойству равнобедренной трапеции \(AH=\frac12\left(AD-BC\right)=7\). Тогда по теореме Пифагора из \(\triangle ABH\): \[BH=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{(25-7)(25+7)}=\sqrt{18\cdot 32}=3\cdot 8=24\] Тогда из \(\triangle ABH\) \[\sin\angle A=\dfrac{BH}{AB}=\dfrac{24}{25}=0,96\]
Ответ: 0,96
В параллелограмме \(ABCD\) известно, что \(AB=3\), \(AD=21\), \(\sin\angle A=\dfrac67\). Найдите большую высоту параллелограмма.
Проведем высоты \(BK\) и \(DH\). Тогда из \(\triangle ADH\) и \(\triangle ABK\): \[\sin\angle A=\dfrac{DH}{AD}\quad {\small{и}}\quad \sin\angle A=\dfrac{BK}{AB}\] откуда \[DH=AD\sin\angle A\quad {\small{и}}\quad BK=AB\sin\angle A\] Так как \(AD>AB\), то \(DH\) – большая высота, следовательно, \[DH=21\cdot \dfrac67=18\]
Ответ: 18
В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90^\circ\), \(CH=4\) – высота, \(BC=\sqrt{17}\). Найдите \(\mathrm{tg}\,\angle A\).
По теореме Пифагора из \(\triangle BCH\): \[BH=\sqrt{17-16}=1\] Следовательно, \[\mathrm{tg}\,\angle BCH=\dfrac{BH}{CH}=0,25\] По свойству прямоугольного треугольника \(\angle BCH=\angle BAC\), следовательно, \(\mathrm{tg}\,\angle A=\mathrm{tg}\,\angle BAC=0,25\).
Ответ: 0,25
В треугольнике \(ABC\) угол \(C=90^\circ\), \(AC=24\), \(BC=7\). Найдите \(\sin \angle A\).
Так как по определению \[\sin \angle A=\dfrac{BC}{AB}\] то нужно найти \(AB\). По теореме Пифагора \(AB=\sqrt{24^2+7^2}=\sqrt{625}=25\), следовательно, \[\sin \angle A=\dfrac{7}{25}=0,28\]
Ответ: 0,28
В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AC=BC=27\), \(AH\) – высота, \(\cos\angle BAC=\dfrac23\). Найдите \(BH\).
Так как \(\triangle ABC\) равнобедренный, то \(\angle BAC=\angle ABC\), следовательно, \(\cos\angle ABC=\cos\angle BAC=\frac23\).
Проведем \(CK\perp AB\). Так как \(\triangle ABC\) равнобедренный, то \(CK\) – медиана. Из \(\triangle CKB\): \[\dfrac{KB}{BC}=\cos\angle ABC=\dfrac23\quad\Rightarrow\quad KB=18\] Тогда \(AB=2KB=36\). Из \(\triangle AHB\): \[\dfrac{BH}{AB}=\cos\angle ABC=\dfrac23\quad\Rightarrow\quad
BH=24\]
Ответ: 24
