Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

16. Многоугольники. Базовые свойства

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Формулы и задачи по тригонометрии (страница 2)

Задание 8 #5916

В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AC=BC\), \(AB=8\), \(\mathrm{tg}\,\angle A=\dfrac{\sqrt{33}}4\). Найдите \(AC\).


 

Проведем \(CK\perp AB\). Так как треугольник \(ABC\) равнобедренный, то \(CK\) также является медианой, следовательно, \(AK=0,5AB=4\). Тогда \[\dfrac{CK}{AK}=\mathrm{tg}\,\angle A=\dfrac{\sqrt{33}}4\quad\Rightarrow\quad CK=\sqrt{33}\] Тогда по теореме Пифагора из \(\triangle ACK\): \[AC=\sqrt{AK^2+CK^2}=\sqrt{16+33}=7\]

Ответ: 7

Задание 9 #5917

В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AC=BC\), \(AB=8\), \(\sin\angle BAC=0,5\). Найдите высоту \(AH\).


 

Так как \(\triangle ABC\) равнобедренный, то \(\angle BAC=\angle ABC\), следовательно, \(\sin\angle ABC=\sin\angle BAC=0,5\). Тогда из \(\triangle AHB\): \[\sin\angle ABC=\dfrac{AH}{AB}\quad\Rightarrow\quad AH=0,5AB=4\]

Ответ: 4

Задание 10 #5918

В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AC=BC=4\sqrt{15}\), \(\sin\angle BAC=0,25\). Найдите высоту \(AH\).


 

Так как \(\triangle ABC\) равнобедренный, то \(\angle BAC=\angle ABC\), следовательно, \(\sin\angle ABC=\sin\angle BAC=0,25\). Следовательно, из \(\triangle AHB\): \[\dfrac{AH}{AB}=\sin\angle ABC=\dfrac14 \quad\Rightarrow\quad AH=\dfrac14AB\] Проведем \(CK\perp AB\). Тогда \(CK\) также является медианой. Из \(\triangle CKB\): \[\dfrac{CK}{BC}=\sin\angle ABC=\dfrac14\quad\Rightarrow\quad CK=\sqrt{15}\] Следовательно, по теореме Пифагора из \(\triangle CKB\): \[KB=\sqrt{BC^2-CK^2}=\sqrt{(4\sqrt{15})^2-(\sqrt{15})^2}= \sqrt{3\sqrt{15}\cdot 5\sqrt{15}}=15\] Следовательно, \(AB=2KB=30\) и \(AH=\frac14AB=7,5\).

Ответ: 7,5

Задание 11 #5919

В треугольнике \(ABC\) известно, что \(AC=BC=27\), \(AH\) – высота, \(\cos\angle BAC=\dfrac23\). Найдите \(BH\).



Так как \(\triangle ABC\) равнобедренный, то \(\angle BAC=\angle ABC\), следовательно, \(\cos\angle ABC=\cos\angle BAC=\frac23\).
Проведем \(CK\perp AB\). Так как \(\triangle ABC\) равнобедренный, то \(CK\) – медиана. Из \(\triangle CKB\): \[\dfrac{KB}{BC}=\cos\angle ABC=\dfrac23\quad\Rightarrow\quad KB=18\] Тогда \(AB=2KB=36\). Из \(\triangle AHB\): \[\dfrac{BH}{AB}=\cos\angle ABC=\dfrac23\quad\Rightarrow\quad BH=24\]

Ответ: 24

Задание 12 #5920

В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90^\circ\), \(CH\) – высота, \(BC=8\), \(BH=4\). Найдите \(\sin\angle A\).


 

Из \(\triangle BCH\): \[\sin\angle BCH=\dfrac{BH}{BC}=0,5\] По свойству прямоугольного треугольника \(\angle BCH=\angle BAC\), следовательно, \(\sin\angle A=\sin\angle BAC=0,5\).

Ответ: 0,5

Задание 13 #5921

В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90^\circ\), \(CH=4\) – высота, \(BC=\sqrt{17}\). Найдите \(\mathrm{tg}\,\angle A\).


 

По теореме Пифагора из \(\triangle BCH\): \[BH=\sqrt{17-16}=1\] Следовательно, \[\mathrm{tg}\,\angle BCH=\dfrac{BH}{CH}=0,25\] По свойству прямоугольного треугольника \(\angle BCH=\angle BAC\), следовательно, \(\mathrm{tg}\,\angle A=\mathrm{tg}\,\angle BAC=0,25\).

Ответ: 0,25

Задание 14 #5922

В параллелограмме \(ABCD\) известно, что \(AB=3\), \(AD=21\), \(\sin\angle A=\dfrac67\). Найдите большую высоту параллелограмма.


 

Проведем высоты \(BK\) и \(DH\). Тогда из \(\triangle ADH\) и \(\triangle ABK\): \[\sin\angle A=\dfrac{DH}{AD}\quad {\small{и}}\quad \sin\angle A=\dfrac{BK}{AB}\] откуда \[DH=AD\sin\angle A\quad {\small{и}}\quad BK=AB\sin\angle A\] Так как \(AD>AB\), то \(DH\) – большая высота, следовательно, \[DH=21\cdot \dfrac67=18\]

Ответ: 18