Решите уравнение \((x-4)^6+(x^2-4x+2)^3=0\).
Уравнение можно переписать в виде: \[(x-4)^6=-(x^2-4x+2)^3\quad\Rightarrow\quad \left((x-4)^2\right)^3=(-x^2+4x-2)^3,\] так как \(-t^3=(-t)^3\) и \(\alpha^6=(\alpha^2)^3\).
Следовательно, уравнение принимает вид \(a^3=b^3\). Так как кубы двух выражений равны тогда и только тогда, когда равны сами выражения, то уравнение равносильно \[\begin{aligned}
&(x-4)^2=-x^2+4x-2\quad\Rightarrow\\
&2x^2-12x+18=0\quad\Rightarrow\\
&x^2-6x+9=0 \quad\Rightarrow\\
&(x-3)^2=0\quad\Rightarrow \\
&x=3
\end{aligned}\]
Ответ: 3