Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Темы отсутствуют
Кликните, чтобы открыть меню

16. Многоугольники. Базовые свойства

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Прямоугольный треугольник (страница 2)

Задание 8 #5861

В треугольнике \(ABC\): \(\angle A = 60^{\circ}\), \(\angle C = 80^{\circ}\), \(AD\) и \(CE\) – высоты, пересекающиеся в точке \(F\). Найдите \(\angle EFD\). Ответ дайте в градусах.

Треугольник \(AEC\) – прямоугольный, \(\angle A = 60^{\circ}\), тогда \(\angle ACE = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}\). Аналогично в треугольнике \(ADC\) находим, что \(\angle DAC = 10^{\circ}\).

Так как сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\), то \(\angle AFC = 180^{\circ} - 10^{\circ} - 30^{\circ} = 140^{\circ}\). Углы \(AFC\) и \(EFD\) равны как вертикальные, тогда \(\angle EFD = 140^{\circ}\).

Ответ: 140

Задание 9 #5862

В треугольнике \(ABC\): \(AE\) и \(BF\) – высоты, пересекающиеся в точке \(O\), \(\angle FBC = 19^{\circ}\). Найдите \(\angle FOE\). Ответ дайте в градусах.

Треугольник \(BOE\) – прямоугольный, \(\angle OBE = 19^{\circ}\), тогда \(\angle BOE = 90^{\circ} - 19^{\circ} = 71^{\circ}\). \(\angle FOE\) – смежный с \(\angle BOE\), тогда их сумма равна \(180^{\circ}\) и, значит, \(\angle FOE = 109^{\circ}\).

Ответ: 109

Задание 10 #5863

В треугольнике \(ABC\): \(BM\) – биссектриса, на сторонах \(AB\) и \(BC\) выбраны точки \(P\) и \(Q\) соответственно, причём перпендикуляр к \(AB\), проходящий через точку \(P\) и перпендикуляр к \(BC\), проходящий через точку \(Q\), пересеклись в точке \(K\), лежащей на биссектрисе \(BM\). Найдите \(PK\), если известно, что \(KQ = 33\).

Так как каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон, то \(PK = KQ = 33\).

Покажем это подробнее:

треугольники \(PKB\) и \(BKQ\) – прямоугольные, имеющие общую гипотенузу и \(\angle PBK = \angle KBQ\), тогда треугольники \(PKB\) и \(BKQ\) равны по гипотенузе и острому углу, значит, \(PK = KQ\).

Ответ: 33

Задание 11 #5864

В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90^\circ\), угол \(A\) равен \(30^\circ\), \(AB=2\sqrt3\). Найдите высоту \(CH\).

Так как катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы, то \(BC=0,5AB=\sqrt3\).
По свойству прямоугольного треугольника \(\angle BCH=\angle A=30^\circ\), следовательно, из \(\triangle BCH\): \(HB=0,5 BC=\sqrt3:2\).
Тогда по теореме Пифагора из \(\triangle BCH\): \[CH=\sqrt{BC^2-BH^2}=\sqrt{\dfrac94}=1,5\]

Ответ: 1,5

Задание 12 #5865

В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90^\circ\), \(CH\) – высота, угол \(A\) равен \(30^\circ\). Найдите \(AH\), если \(AB=2\).

Так как катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы, то \(BC=0,5AB=1\).
Тогда по теореме Пифагора из \(\triangle ABC\): \[AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt3\] Из прямоугольного \(\triangle AHC\): \(HC=0,5AC=\sqrt3:2\). Тогда по теореме Пифагора \[AH=\sqrt{AC^2-HC^2}=1,5\]

Ответ: 1,5

Задание 13 #5866

В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90^\circ\), \(CH\) – высота, угол \(A\) равен \(30^\circ\). Найдите \(BH\), если \(AB=4\).

Так как катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы, то \(BC=0,5AB=2\).
По свойству прямоугольного треугольника \(\angle BCH=\angle A=30^\circ\), следовательно, из \(\triangle BCH\): \(HB=0,5 BC=1\).

 

Ответ: 1

Задание 14 #5867

В треугольнике \(ABC\) \( \ AB=BC=AC=2\sqrt3\). Найдите высоту \(CH\).

Так как \(AC=BC\), то \(CH\) также является медианой, следовательно, \(AH=0,5 AB=\sqrt3\). Тогда по теореме Пифагора из \(\triangle ACH\): \[CH=\sqrt{AC^2-AH^2}=3\]

Ответ: 3