Площадь равнобедренного треугольника \(ABC\) с основанием \(AC\) равна \(20\). В нем проведены высоты \(BD\) и \(AH\), пересекающиеся в точке \(L\). Найдите площадь треугольника \(BLH\), если \(AH = 4\sqrt{2}\).
\[S_{ABC} = 0,5\cdot AH\cdot CB = 20\quad\Rightarrow \quad CB =5\sqrt{2}.\] Так как треугольник \(ABC\) равнобедренный с основанием \(AC\), то \(AB=CB=5\sqrt2\).
Из треугольника \(ABH\) по теореме Пифагора:
\[HB = \sqrt{AB^2 - AH^2} = 3\sqrt{2}.\] Так как \(BD\) — высота равнобедренного треугольника \(ABC\), проведенная к основанию, то она также является биссектрисой и медианой. Тогда по свойству биссектрисы из \(\triangle ABH\):
\[\dfrac{HL}{HB} = \dfrac{AH-HL}{AB}\quad \Rightarrow\quad HL = 1,5\sqrt{2}.\] Следовательно, \(S_{BLH} = 0,5\cdot HL\cdot HB = 4,5.\)
Ответ: 4,5
