Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

13. Задачи на подстановку значений переменных в формулу

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи, решающиеся неравенством (страница 2)

Задание 8 #5072

Агентство “Rate me!” составило рейтинг университетов на основании 3 показателей: \(A, \ B, \ C\). Итоговый рейтинг каждого университета вычислялся по формуле \[R = k(A + 2B + C^2),\] где \(k\) – некоторое число, а показатели \(A, \ B, \ C\) оценивались по 10-балльной шкале. Известно, что университет \(U\) получил не менее чем по 6 баллов по показателям \(A\) и \(B\) и не менее чем 7 баллов по показателю \(C\). При этом его рейтинг оказался равен 33,5. Какое наибольшее значение при этом могло иметь число \(k\)?

Выразим \(k\): \[k = \dfrac{R}{A + 2B + C^2}.\] Так как при постоянном положительном числителе увеличение знаменателя уменьшает дробь, то \[k \leqslant \dfrac{33,5}{6 + 12 + 49} = 0,5,\] то есть наибольшее значение \(k\) могло быть 0,5.

Ответ: 0,5

Задание 9 #5073

Относительное удлинение твёрдого стержня может быть найдено по формуле \[\mathcal{E} = \dfrac{l - l_0}{l_0},\] где \(l_0\) – начальная длина стержня (в метрах), \(l\) – конечная длина (в метрах). Длина стержня сначала увеличилась (состояние 1) не менее чем в \(1,4\) раза, а затем уменьшилась (состояние 2) и стала составлять \(60\%\) от длины, которая была в состоянии 1. Какое при этом наименьшее относительное удлинение мог получить стержень в состоянии 2 по отношению к первоначальному состоянию?

В состоянии 1 длина стержня стала \(l_1 \geqslant 1,4l_0\), а после перехода в состояние 2 она стала составлять \[l_2 = \dfrac{60}{100}\cdot l_1 \geqslant \dfrac{60}{100}\cdot 1,4l_0 = 0,84l_0.\] Таким образом, относительное удлинение, которое получил стержень в состоянии 2 по отношению к первоначальному состоянию: \[\mathcal{E} = \dfrac{l_2 - l_0}{l_0} \geqslant \dfrac{0,84l_0 - l_0}{l_0} = -0,16,\] следовательно, наименьшее относительное удлинение, которое мог получить стержень в состоянии 2 по отношению к первоначальному состоянию, равно \(-0,16\).

Ответ: -0,16

Задание 10 #5074

Сила гравитационного притяжения между материальными точками массы \(m_1\) кг и \(m_2\) кг, находящимися на расстоянии \(R\) метров, может быть найдена по формуле \[F = G\dfrac{m_1m_2}{R^2},\] где \(G = 6,67\cdot 10^{-11}\) Н\(\cdot\)м\(^2\)/кг\(^2\) – гравитационная постоянная. В какое максимальное число раз можно увеличить расстояние между материальными точками, чтобы при неизменных массах сила гравитационного притяжения между ними уменьшилась не более чем в 10,24 раза?

Пусть начальная сила гравитационного притяжения между материальными точками равна \(F_0\) Н, а начальное расстояние между ними равно \(R_0\) м, тогда \[G\dfrac{m_1m_2}{R^2} = F \leqslant 10,24 F_0 = 10,24 G\dfrac{m_1m_2}{{R_0}^2},\] откуда \(\dfrac{1}{R^2}\leqslant 10,24\dfrac{1}{{R_0}^2}\), что равносильно \(R^2 \geqslant 10,24{R_0}^2\).

Обозначим искомую величину за \(k = \dfrac{R}{R_0}\), тогда \(R = kR_0\), откуда \(k^2{R_0}^2 \geqslant 10,24 {R_0}^2\). Поделим неравенство на \({R_0}^2\) (\({R_0}^2 > 0\)): \(k^2 \geqslant 10,24\), что равносильно \[k^2 - 10,24 \geqslant 0.\] Решим это неравенство методом интервалов. Найдём корни уравнения \(k^2 - 10,24 = 0\): \[k_1 = -3,2,\qquad\qquad k_2 = 3,2,\] тогда:

но расстояние между материальными точками – неотрицательно, следовательно, \(k\geqslant 0\), тогда расстояние между материальными точками можно увеличить минимум в \(3,2\) раза.

Ответ: 3,2

Задание 11 #5075

В гидростатике сила давления жидкости на дно цилиндрического сосуда может быть найдена по формуле \(F = \rho g h S_{\text{дна}}\), где \(F\) – сила давления в ньютонах, \(\rho\) – плотность жидкости в кг/м\(^3\), \(h\) – высота столба жидкости в метрах, \(S_{\text{дна}}\) – площадь дна в м\(^2\). В какое наименьшее число раз надо увеличить радиус основания цилиндра при прочих неизменных параметрах, чтобы сила давления на дно увеличилась не менее чем в 16 раз?

Начальные параметры обозначим с индексом 0, тогда \[\rho g h S_{\text{дна}} = F \geqslant 16F_0 = 16\rho g h S_{\text{дна}_0},\] откуда \(S_{\text{дна}} \geqslant 16S_{\text{дна}_0}\).

Так как \(S_\text{круга} = \pi r^2\), где \(r\) – радиус этого круга, то последнее неравенство эквивалентно \[r^2 - 16{r_0}^2 \geqslant 0.\] Обозначим искомое отношение через \(k = \dfrac{r}{r_0}\), тогда \(r = kr_0\) и последнее неравенство перепишется в виде \[k^2{r_0}^2 - 16{r_0}^2 \geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad k^2 - 16 \geqslant 0\] (так как \({r_0}^2 > 0\)). Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения \(k^2 - 16 = 0\): \[k = \pm 4.\] Тогда:

но \(k \geqslant 0\) (так как \(r \geqslant 0, \ r_0 \geqslant 0\)), тогда подходят \(k \geqslant 4\), то есть радиус основания надо увеличить минимум в 4 раза.

Ответ: 4

Задание 12 #5076

Объем спроса \(Q\) единиц в месяц на продукцию предприятия \(M\) зависит от цены \(P\) в тыс. руб. по формуле \(Q(P) = 29 - P\). Месячная выручка \(R\) в тыс. руб. предприятия \(M\) вычисляется по формуле \(R = P\cdot Q\). Определите наименьшую цену \(P\), при которой месячная выручка \(R\) окажется не менее \(100\) тыс. руб. Ответ дайте в тыс. руб.

\[R = P\cdot Q = 29P - P^2.\] Месячная выручка составит не менее \(100\) тыс. руб. при цене \(P\), которая может быть найдена из неравенства \(29P - P^2 \geqslant 100\), что равносильно \[P^2 - 29P + 100 \leqslant 0.\] Решим это неравенство методом интервалов. Найдём корни уравнения \(P^2 - 29P + 100 = 0\): \[P_1 = 4, \qquad\qquad P_2 = 25,\] тогда:

то есть наименьшая цена, при которой месячная выручка составит не менее \(100\) тыс. руб., равна 4 тыс. руб.

Ответ: 4

Задание 13 #5077

Миша ударил по мячу так, что тот полетел вертикально вверх. Высота мяча до падения меняется по закону \(h = 0,5 + 25t - 5t^2\), где \(h\) – высота в метрах, \(t\) – время в секундах, отсчитываемое от момента подбрасывания. Сколько секунд с момента удара мяч находился на высоте не менее \(0,5\) метра?

Моменты \(t\), в которые мяч находился на высоте не менее \(0,5\) метра, удовлетворяют неравенству \[0,5 + 25t - 5t^2 \geqslant 0,5 \qquad\Leftrightarrow\qquad 25t - 5t^2 \geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad t^2 - 5t \leqslant 0.\] Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения \(t^2 - 5t = 0\): \[t_1 = 0, \qquad\qquad t_2 = 5,\] тогда:

следовательно, мяч находился на высоте не менее 0,5 метра в моменты времени \(t\in[0;5]\), то есть в течение \(5 - 0 = 5\) секунд.

Ответ: 5

Задание 14 #5078

Материальная точка \(P\) движется в поле силы тяжести так, что для неё справедлив закон сохранения энергии в виде \[\dfrac{v^2}{2}+gz = 4,\] где \(v\) – её скорость в м/с, \(g = 10\) м/с\(^2\) – ускорение свободного падения, \(z\) – высота над уровнем моря, на которой находится точка (в метрах). Определите, при какой наибольшей высоте над уровнем моря скорость точки \(P\) может быть не менее чем \(2\) м/с. Ответ дайте в метрах.

Выразим \(v^2\): \[v^2 = 8 - 20z.\] Так как \(v \geqslant 2\), то \(v^2 \geqslant 4\), тогда \[8 - 20z \geqslant 4 \qquad\Leftrightarrow\qquad 4 \geqslant 20z\qquad\Leftrightarrow\qquad z \leqslant 0,2.\] То есть наибольшая допустимая высота равна \(0,2\) метра.

Ответ: 0,2