15. Задачи прикладного характера по геометрии
Площадь прямоугольного земельного участка равна 11 га. Ширина участка равна 200 метров. Найдите длину этого участка.
Переведем площадь участка из гектаров в квадратные метры 11 га = 110000 \(\text{м}^2\).
Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Значит, длина равна \(110000:200 = 550\) метров.
Ответ: 550
В 32 метрах одна от другой растут 2 сосны. Высота одной из них 37 м, а второй — 13 м. Каково расстояние (в метрах) между их верхушками?
Обозначим \(AF\) — высоту большей сосны, \(BD\) — меньшей.
Расстояние между ними — перпендикуляр \(CD=32\). Отрезок \(CF = 37-13=24\) м. Тогда по теореме Пифагора:
\[FD^2=24^2 + 32^2.\]
Откуда \(FD = 40\) метров.
Ответ: 40
Девочка прошла от дома на юг 50 м. Потом она повернула на восток и прошла еще какое-то расстояние. Какое расстояние прошла девочка на восток (в метрах), если она оказалась на расстоянии 130 м от дома?
Угол между направлением “на юг”\(\,\) и направлением “на восток”\(\,\) равен \(90^{\circ}\). Воспользуемся теоремой Пифагора.
Расстояние, которое девочка прошла на юг — катет прямоугольного треугольника. Расстояние, на котором она оказалась, — гипотенуза. Расстояние, которое нужно найти — другой катет.
\[130^2 - 50^2 = 14400\]
Значит, на восток девочка прошла 120 метров.
Ответ: 120
Проектор полностью освещает экран A высотой 80 см, расположенный на расстоянии 250 см от проектора. Найдите, на каком наименьшем расстоянии от проектора нужно расположить экран B высотой 160 см. чтобы он был полностью освещен, если настройки проектора остаются неизменными. Ответ дайте в сантиметрах.
Расстояние от проектора до экрана – это перпендикуляр. Следовательно, можно рассмотреть два прямоугольных треугольника \(QWE\) и \(QRT\):
Заметим также, что \(\triangle QME\) и \(\triangle QNT\) равнобедренные, следовательно, точки \(W\) и \(R\) делят отрезки \(ME\) и \(NT\) пополам. Отсюда \(WE=40\) – половина высоты экрана A, а \(RT=80\) – половина высоты экрана B. Из условия также следует, что \(QW=250\). Так как \(\triangle QWE\sim \triangle QRT\) по двум углам, то \(QR:QW=RT:WE=80:40=2:1\), то есть \(QR=2\cdot 250=500\) (см).
Ответ: 500
Лестница соединяет точки \(A\) и \(B\). Высота каждой ступени равна 12,5 см, а длина – 30 см. Расстояние между точками \(A\) и \(B\) составляет 6,5 м. Найдите высоту, на которую поднимается лестница (в метрах).
Во-первых, переведем высоту и длину ступенек в метры: \(0,125\) м и \(0,3\) м.
Во-вторых, если \(x\) – число ступенек, то \(0,125x\) – длина \(BC\), а \(0,3x\) – длина \(AC\). Треугольник \(ABC\) прямоугольный, следовательно, \[AB^2=AC^2+BC^2\quad\Rightarrow\quad 6,5^2=(0,125x)^2+(0,3x)^2\] Заметим, что \(0,125=\frac18\), \(0,3=\frac3{10}\) и \(6,5=\frac{13}2\). Тогда \[x^2=\dfrac{169\cdot 64\cdot 100}{4\cdot (100+9\cdot
64)}=400\quad\Rightarrow\quad x=20.\] Тогда \(BC=0,125\cdot 20=2,5\) (м).
Ответ: 2,5
От столба высотой 9 м к дому натянут провод, который крепится на высоте 3 м от земли. Расстояние от дома до столба 8 м. Вычислите длину провода. Ответ дайте в метрах.
Проведем прямую \(BC\) параллельно земле, как показано на рисунке.
Тогда мы получим прямоугольный треугольник \(ABC\), причем \(BC=8\), \(AB=9-3=6\). Тогда длина провода \(AC=\sqrt{8^2+6^2}=10\) (м).
Ответ: 10
Найдите длину лестницы, которую прислонили к дереву, если ее верхний конец находится на высоте \(3,5\) м над землей, а нижний отстоит от ствола дерева на \(1,2\) м. Ответ дайте в метрах.
Так как ствол дерева находится в вертикальном положении, то он, лестница и земля образуют прямоугольный треугольник, причем длина лестницы равна длине гипотенузы этого треугольника. Следовательно, длина лестницы равна
\(\sqrt{1,2^2+3,5^2}=\sqrt{\dfrac{144}{100}+\dfrac{1225}{100}}=\sqrt{\dfrac{1369}{100}}=
\dfrac{37}{10}=3,7\) (м)
Ответ: 3,7
