Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

16. Многоугольники. Базовые свойства

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Параллелограмм и ромб (страница 2)

Задание 8 #5895

Острый угол ромба \(ABCD\) равен \(60^{\circ}\), одна из его сторон равна 10. Найдите меньшую из диагоналей этого ромба.

Пусть \(\angle A = 60^{\circ}\). В ромбе все стороны равны, тогда треугольник \(ABD\) – равнобедренный, у которого один из углов равен \(60^{\circ}\), следовательно, треугольник \(ABD\) – равносторонний и \(BD = 10\).

Треугольник \(ABC\) – тупоугольный. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, тогда \(AC > AB = BD\), значит, \(BD\) – меньшая из диагоналей.

Ответ: 10

Задание 9 #5896

В ромбе \(ABCD\): \(\angle ACD = 26^{\circ}\). Найдите \(\angle ABD\). Ответ дайте в градусах.

В ромбе диагонали перпендикулярны, тогда \(\angle CDB = 90^{\circ} - \angle ACD = 64^{\circ}\).

\(BC = CD\), тогда \(\angle CBD = \angle CDB = 64^{\circ}\).

Так как диагонали ромба делят его углы пополам, то \(\angle ABD = \angle CBD = 64^{\circ}\).

Ответ: 64

Задание 10 #5897

Найдите большую диагональ ромба \(ABCD\), если \(AB = 2\sqrt{3}\), а острый угол равен половине тупого.

Так как сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна \(180^{\circ}\), то сумма острого и тупого углов ромба равна \(180^{\circ}\).

Так как в данном ромбе острый угол равен половине тупого, то острый угол ромба \(ABCD\) равен \(60^{\circ}\).

Треугольник \(ABD\) – равнобедренный, один из углов которого равен \(60^{\circ}\), тогда треугольник \(ABD\) – равносторонний и \(BD = 2\sqrt{3}\).

Пусть \(O\) – точка пересечения диагоналей ромба, тогда \(OD = 0,5 BD = \sqrt{3}\), следовательно, по теореме Пифагора находим: \(AO^2 + OD^2 = AD^2\), тогда \(AO^2 + 3 = 12\), откуда находим \(AO = 3\). В ромбе, как и в любом другом параллелограмме, диагонали точкой пересечения делятся пополам, значит, \(AC = 6\).

Ответ: 6

Задание 11 #5876

Биссектрисы углов \(B\) и \(C\) параллелограмма \(ABCD\) пересекаются на стороне \(AD\). Найдите \(BC\), если \(AB=4\).

По свойству биссектрисы параллелограмма \(\triangle ABK\) и \(\triangle CDK\) – равнобедренные (\(AB=AK\), \(CD=DK\)). Следовательно, \[BC=AD=AK+DK=AB+CD=2AB=8.\]

Ответ: 8

Задание 12 #5877

В параллелограмме \(ABCD\) проведены биссектрисы \(AN\) и \(BE\) односторонних углов. Найдите \(BE\), если \(AN=16\), \(AB=10\).



По свойству биссектрисы параллелограмма \(\triangle ABE\) и \(\triangle ABN\) – равнобедренные, то есть \(AE=AB=BN\). Следовательно, \(AO\) – биссектриса, проведенная к основанию, значит, высота, то есть \(\angle AOB=90^\circ\), а также и медиана, то есть \(BO=OE\). Аналогично \(AO=ON=\frac12AN=8\). Тогда по теореме Пифагора из \(\triangle AOB\): \[BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=6 \quad\Rightarrow\quad BE=2\cdot 6=12.\]

Ответ: 12

Задание 13 #5878

Один угол параллелограмма больше другого на \(70^\circ\). Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах.

В параллелограмме противоположные углы равны, а прилежащие к одной стороне в сумме дают \(180^\circ\). Следовательно, пусть \(x\) – некоторый угол параллелограмма, тогда второй равен \(x+70^\circ\). Так как они не могут быть противоположными, то они прилежащие к одной стороне, следовательно, \[x+x+70^\circ=180^\circ\quad\Rightarrow\quad x=55^\circ\] Тогда больший угол параллелограмма равен \(x+70^\circ=125^\circ\).

Ответ: 125

Задание 14 #5879

Найдите угол между биссектрисами углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне. Ответ дайте в градусах.

Проведем биссектрисы двух соседних углов. Пусть они разбили первый угол на два угла, равных \(x\), второй угол — на два угла, равных \(y\). Нужно найти \(\alpha\).



По свойству параллелограмма сумма его углов, прилежащих к одной стороне, равна \(180^\circ\). Следовательно, \(2x+2y=180^\circ\), или \(2(x+y)=180^\circ\), откуда \(x+y=90^\circ\).
Так как сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\), то \(x+y+\alpha=180^\circ\), откуда \(\alpha=180^\circ-(x+y)=180^\circ-90^\circ=90^\circ\).

Ответ: 90