Постройте график функции \[y=5|x-3|-x^2+7x-12\, .\]
Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно одну общую точку.
Для того, чтобы изобразить график данной функции, нужно раскрыть модуль. Для этого нужно рассмотреть случаи, когда подмодульное выражение больше или меньше нуля, чтобы воспользоваться правилом: \[|t|=\begin{cases} t, t\geqslant 0\\ -t, t<0 \end{cases}\]
1) Пусть \(x-3\geqslant 0\), то есть \(x\geqslant 3\). Тогда функция примет вид \[y_1=5(x-3)-x^2+7x-12=-x^2+12x-27\] Графиком данной функции является парабола. Можно выделить полный квадрат: \(-x^2+12x-27=-(x^2-12x+36)+36-27=-(x-6)^2+9\). Следовательно, график получается путем сдвига графика \(y=-x^2\) на 6 единиц вправо и на 9 единиц вверх.
2) Если \(x-3<0\), то есть \(x<3\), то функция примет вид \[y_2=-5(x-3)-x^2+7x-12=-x^2+2x+3\] Графиком данной функции также является парабола. Выделим полный квадрат: \(-x^2+2x-3=-(x^2-2x+1)+1+3=-(x-1)^2+4\). График получаем путем сдвига \(y=-x^2\) на 1 единицу вправо и на 4 единицы вверх.
При \(x=3\) имеем \(y=0\).
Итак, получаем:
Таким образом, горизонтальная прямая \(y=m\) будет иметь с графиком одну общую точку, когда будет проходить через вершину параболы \(y_1\), то есть при \(m=9\).
Ответ: 9
