22. Текстовые задачи
Во сколько раз больше должен быть объём \(20\)-процентного раствора кислоты, чем объём \(14\)-процентного раствора той же кислоты, чтобы при смешивании получить \(18\)-процентный раствор?
Пусть объём \(20\)-процентного раствора кислоты равен \(x\) литров, а объём \(14\)-процентного раствора равен \(y\) литров, тогда требуется найти значение величины \(\dfrac{x}{y}\) при условии \[0,2x + 0,14y = 0,18(x + y) \qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{x}{y} = 2\,,\] таким образом, ответ: \(2\).
Ответ: 2
Половину объёма огурца когда-то занимала вода, потом этот огурец подсох и вода стала занимать лишь \(20\%\) объёма огурца. Во сколько раз уменьшился объём этого огурца?
Пусть первоначальный объём огурца составлял \(V_0\) литров, а конечный объём \(V_1\) литров. Так как объём сухого вещества не менялся, то \[0,5V_0 = 0,8V_1\,,\] откуда находим \[\dfrac{V_0}{V_1} = 1,6\,,\] следовательно, объём огурца уменьшился в \(1,6\) раз.
Ответ: 1,6
Азат смешал \(10\)-процентный, \(20\)-процентный и \(30\)-процентный растворы одной и той же кислоты и получил \(2\) литра \(20\)-процентного раствора. На сколько литров больше было смешано \(10\)-процентного раствора, чем \(30\)-процентного?
Пусть у Азата было \(x\) литров \(10\)-процентного раствора, \(y\) литров \(20\)-процентного раствора и \(z\) литров \(30\)-процентного раствора, тогда \[0,1x + 0,2y + 0,3z = 0,2(x + y + z)\qquad\Leftrightarrow\qquad 0,1z = 0,1x \qquad\Leftrightarrow\qquad x = z\,,\] то есть \(10\)-процентного раствора было столько же, сколько и \(30\)-процентного, следовательно, ответ: \(0\).
Ответ: 0
В лаборатории смешали \(10\)-процентный, \(20\)-процентный и \(30\)-процентный растворы одной и той же кислоты, в результате чего было получено \(3\) литра \(18\)-процентной кислоты. Какой объём смеси получился бы, если бы вместо этого смешали \(10\)-процентную кислоту в объёме, в два раза большем, чем её было изначально, с \(20\)-процентной кислотой, взятой в том же объёме, что и изначально? Ответ дайте в литрах.
Пусть изначально было \(x\) литров \(10\)-процентного раствора, \(y\) литров \(20\)-процентного раствора и \(z\) литров \(30\)-процентного раствора, тогда искомая величина есть \(2x + y\). При этом \[\begin{cases} 0,1x + 0,2y + 0,3z = 0,18(x + y + z)\\ x + y + z = 3 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} 0,1x + 0,2y + 0,3(3 - x - y) = 0,54\\ z = 3 - x - y \end{cases}\] из первого уравнения последней системы находим: \[2x + y = 3,6\,.\] Таким образом, ответ: \(3,6\).
Ответ: 3,6
У Риты было два наполовину заполненных \(10\)-литровых ведра: одно с краской, а другое с водой. Рита взяла и перелила из ведра с водой в ведро с краской ровно \(1\) литр (при помощи ковша объёмом \(1\) литр). Затем, немного подумав, она перелила из ведра, которое изначально было с краской, литр в ведро с водой. Вот только она не помнит, перемешивала ли она содержимое ведра, которое изначально было с краской, прежде чем перелить из него литр. Найдите разность между концентрацией воды в ведре с краской и концентрацией краски в ведре с водой.
Попробуем ответить на вопрос, откуда в ведре с краской вода: это вода, которая была перелита в первый раз, но не ушла при втором переливании. При втором переливании именно её место в ковше заняла краска.
Попробуем ответить на вопрос, откуда в ведре с водой краска: это краска, которая была перелита во второй раз, то есть это та самая краска, которая заняла место навсегда оставшейся в ведре с краской воды, следовательно, объём краски в ведре с водой равен объёму воды в ведре с краской. Так как объёмы содержимого вёдер одинаковы, то и соответствующие концентрации одинаковы, тогда ответ: \(0\).
Ответ: 0
Смешав \(25\)-процентный и \(95\)-процентный растворы кислоты и добавив \(20\) кг чистой воды, получили \(40\)-процентный раствор кислоты. Если бы вместо \(20\) кг воды добавили \(20\) кг \(30\)-процентного раствора той же кислоты, то получили бы \(50\)-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов \(25\)-процентного раствора использовали для получения смеси?
Заметим, что вода – это раствор, не содержащий кислоту, то есть содержащий \(0\%\) кислоты.
Пусть \(x\) кг – масса раствора с \(25\)-процентным содержанием кислоты, \(y\) кг – масса раствора с \(95\)-процентным содержанием кислоты. Составим схему, описывающую получение \(40\)-процентного раствора:
Заметим, что количество кислоты во всех трех растворах равно количеству кислоты в получившемся растворе. Найдем количество кислоты в первом растворе.
Если раствор весит \(x\) кг, а в нем \(25\%\) кислоты, то в килограммах в нем \(\dfrac{25}{100}\cdot x\) кислоты.
Таким же образом можно посчитать количество кислоты в остальных растворах. Получим первое уравнение:
\[\dfrac{25}{100}\cdot x+\dfrac{95}{100}\cdot y+ \dfrac{0}{100}\cdot 20=\dfrac{40}{100}\cdot (x+y+20)\]
Аналогично составим схему, описывающую получение \(50\)-процентного раствора:
Значит, уравнение, описывающее эту ситуацию, будет выглядеть так:
\[\dfrac{25}{100}\cdot x+\dfrac{95}{100}\cdot y+ \dfrac{30}{100}\cdot 20=\dfrac{50}{100}\cdot (x+y+20)\]
Таким образом, решив систему из полученных двух уравнений, найдем \(x\). Для этого можно умножить оба уравнения на \(100\), чтобы сделать их проще на вид:
\[\begin{cases} 25x+95y+0=40(x+y+20)\\ 25x+95y+30\cdot 20=50(x+y+20) \end{cases}\]
Вычтем из второго уравнения первое и получим новую систему:
\[\begin{aligned} &\begin{cases} 25x+95y=40(x+y+20)\\ 30\cdot 20=10(x+y+20) \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 5x+19y=8(x+y+20)\\ y=40-x \end{cases} \quad \Rightarrow \\[2ex] \Rightarrow \quad &\begin{cases} 3x-11(40-x)+160=0\\ y=40-x \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x=20\\y=20\end{cases} \end{aligned}\]
Таким образом, раствора с \(25\%\) кислоты было \(20\) кг.
Ответ: 20
Смешав \(30\)-процентный и \(90\)-процентный растворы кислоты и добавив \(10\) кг чистой воды, получили \(42\)-процентный раствор кислоты. Если бы вместо \(10\) кг воды добавили \(10\) кг \(50\)-процентного раствора той же кислоты, то получили бы \(52\)-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов \(30\)-процентного раствора использовали для получения смеси?
Заметим, что вода – это раствор, не содержащий кислоту, то есть содержащий \(0\%\) кислоты.
Пусть \(x\) кг – масса раствора с \(30\)-процентным содержанием кислоты, \(y\) кг – масса раствора с \(90\)-процентным содержанием кислоты. Составим схему, описывающую получение \(42\)-процентного раствора:
Заметим, что количество кислоты во всех трех растворах равно количеству кислоты в получившемся растворе. Найдем количество кислоты в первом растворе.
Если раствор весит \(x\) кг, а в нем \(30\%\) кислоты, то в килограммах в нем \(\dfrac{30}{100}\cdot x\) кислоты.
Таким же образом можно посчитать количество кислоты в остальных растворах. Получим первое уравнение:
\[\dfrac{30}{100}\cdot x+\dfrac{90}{100}\cdot y+ \dfrac{0}{100}\cdot 10=\dfrac{42}{100}\cdot (x+y+10)\]
Аналогично составим схему, описывающую получение \(50\)-процентного раствора:
Значит, уравнение, описывающее эту ситуацию, будет выглядеть так:
\[\dfrac{30}{100}\cdot x+\dfrac{90}{100}\cdot y+ \dfrac{50}{100}\cdot 10=\dfrac{52}{100}\cdot (x+y+10)\]
Таким образом, решив систему из полученных двух уравнений, найдем \(x\). Для этого можно умножить оба уравнения на \(100\), чтобы сделать их проще на вид:
\[\begin{cases} 30x+90y+0=42(x+y+10)\\ 30x+90y+50\cdot 10=52(x+y+10) \end{cases}\]
Данная система равносильна системе
\[\begin{cases} 4y-x=35\\ 19y-11x=10 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x=25\\y=15 \end{cases}\]
Таким образом, раствора с \(30\%\) кислоты было \(25\) кг.
Ответ: 25
