Теоремы, связанными с углами (страница 3)

Пусть \(O\) – центр окружности. Проведем радиусы \(OA\) и \(OB\). Так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то \(OA\perp AC, OB\perp BC\). Заметим, что \(OACB\) – четырехугольник. Так как сумма углов четырехугольника равна \(360^\circ\), то \[\angle AOB=360^\circ-112^\circ-90^\circ-90^\circ=68^\circ.\] \(\angle AOB\) – центральный угол, опирающийся на дугу \(AB\), следовательно, \(\buildrel\smile\over{AB}=\angle AOB=68^\circ\).

Ответ: 68

Рассмотрим картинку:

Т.к. диаметр, делящий хорду пополам, перпендикулярен ей, то \(AB\perp PT\). Следовательно, \(\triangle PNB=\triangle TNB\) как прямоугольные по двум катетам (\(PN=TN\), \(NB\) – общий). Следовательно, \(PB=TB\).

Т.к. равные хорды стягивают равные дуги, то \(\buildrel\smile\over{TB}=\buildrel\smile\over{PB}=75^\circ\).

Тогда угол между хордами \(AB\) и \(KT\) равен полусумме дуг, заключенных между ними, то есть \(0,5\left(15^\circ+75^\circ\right)=45^\circ\). Т.к. нам необходимо найти угол между прямыми (а это обязательно острый угол), то в данном случае он равен углу между данными хордами.

Ответ: 45

Рассмотрим картинку:

Рассмотрим \(\triangle ABC\): он прямоугольный (\(\angle B=90^\circ\), т.к. опирается на диаметр), следовательно, \(\angle C=90^\circ-\angle A=30^\circ\). Катет \(AB\), лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы \(AC\), то есть равен \(5\).

Ответ: 5

Рассмотрим картинку:

Т.к. угол, образованный двумя такими секущими, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то

\[\angle A=0,5\left(\alpha-\beta\right)=11^\circ \qquad (1)\]

Т.к. равные хорды стягивают равные дуги, то (меньшая полуокружности) дуга \(\buildrel\smile\over{K_2L_2}=95^\circ\). Вся окружность равна \(360^\circ\), следовательно,

\[\alpha+\beta+2\cdot 95^\circ=360^\circ \quad \Rightarrow \quad \alpha+\beta=170^\circ \qquad (2)\]

Решая систему из уравнений \((1)\) и \((2)\), получим, что \(\beta=74^\circ\).

Ответ: 74

Рассмотрим картинку:

Т.к. угол, образованный двумя такими секущими, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то

\[\angle O=0,5\left(\alpha-\beta\right)=20^\circ\]

С другой стороны, по условию задачи \(\alpha+\beta=100^\circ\).
Решая систему из этих двух уравнений, находим, что \(\alpha=70^\circ\).

Ответ: 70

Рассмотрим картинку:

Т.к. угол, образованный двумя такими прямыми-секущими, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то

\[\angle O=15^\circ=\dfrac12\left(44^\circ-x\right)\quad \Rightarrow \quad x=14^\circ\]

Ответ: 14

Рассмотрим картинку:

Т.к. угол, образованный двумя такими секущими, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то

\[\angle O=\dfrac12\left(103^\circ-47^\circ\right)=28^\circ.\]

Ответ: 28