Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Темы отсутствуют
Кликните, чтобы открыть меню

17. Окружность

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Теоремы, связанными с углами (страница 3)

Задание 15 #5999

Найдите угол \(ACB\), если вписанные углы \(ADB\) и \(DAE\) опираются на дуги окружности, градусные меры которых равны соответственно \(118^\circ\) и \(38^\circ\). Ответ дайте в градусах.

Так как угол между двумя секущими, проведенными из одной точки вне окружности, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то \(\angle ACB=0,5(118^\circ-38^\circ)=40^\circ\).

Ответ: 40

Задание 16 #6000

Угол \(ACB\) равен \(42^\circ\). Градусная мера дуги \(AB\) окружности, не содержащей точки \(D\) и \(E\), равна \(124^\circ\). Найдите угол \(DAE\). Ответ дайте в градусах.



Так как угол между двумя секущими, проведенными из одной точки вне окружности, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то \(\angle ACB=0,5(\buildrel\smile\over{AKB}-\buildrel\smile\over{DNE})=42^\circ\). Так как \(\buildrel\smile\over{AKB}=124^\circ\), то \(\buildrel\smile\over{DNE}=124^\circ-2\cdot 42^\circ=40^\circ\). Тогда \(\angle DAE\), как вписанный и опирающийся на дугу \(\buildrel\smile\over{DNE}\), равен ее половине, то есть \(20^\circ\).

Ответ: 20

Задание 17 #6001

Прямая \(b\) касается окружности в точке \(B\) и образует с хордой \(AB\) угол, равный \(55^{\circ}\). Найдите градусную меру дуги \(AB\), которая меньше полуокружности. Ответ дайте в градусах.


 

Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги окружности, заключённой внутри него, следовательно градусная мера искомой дуги равна \(2\cdot 55^{\circ} = 110^{\circ}\).

Ответ: 110

Задание 18 #6002

Точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) угла \(AOB\) лежат на окружности. Дуга \(AB\), заключённая внутри этого угла, равна \(65^{\circ}\), а дуга \(CD\), заключённая внутри этого угла, равна \(22^{\circ}\). Найдите величину угла \(AOB\). Ответ дайте в градусах.


 

\(\angle AOB\) равен полуразности дуг \(AB\) и \(CD\), заключённых внутри него, тогда \[\angle BOD = 0,5(\buildrel\over{ AB} - \buildrel\over{ CD}) = 0,5(65^{\circ} - 22^{\circ}) = 21,5^{\circ}.\]

Ответ: 21,5

Задание 19 #6003

Хорды \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O'\). Дуга \(AB\), заключённая внутри угла \(AO'B\), равна \(60^{\circ}\), а дуга \(CD\), заключённая внутри угла \(CO'D\), равна \(16^{\circ}\). Найдите \(\angle AO'B\). Ответ дайте в градусах.

Угол между хордами окружности равен полусумме градусных мер дуг, заключённых внутри него и вертикального ему. Покажем это подробнее:
Соединим точки \(A\) и \(D\).


 

\(\angle AO'B\) – внешний в треугольнике \(AO'D\), тогда \(\angle AO'B = \angle CAD + \angle ADB = 0,5\cdot \buildrel\over{CD} + 0,5\cdot \buildrel\over{AB} = 0,5(\buildrel\over{CD} + \buildrel\over{AB})\).

В данной задаче \(\angle AO'B = 0,5(\buildrel\over{CD} + \buildrel\over{AB}) = 0,5 (16^{\circ} + 60^{\circ}) = 38^{\circ}\).

Ответ: 38

Задание 20 #6004

\(AC\) и \(BC\) касаются окружности с центром \(O\). \(\angle OCB = 40^{\circ}\). Найдите \(\angle ACB\). Ответ дайте в градусах.

\(OC\) – биссектриса \(\angle ACB\). Покажем это:
Построим радиусы \(OA\) и \(OB\).



Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, следовательно
\(O\) – точка внутри угла \(ACB\), равноудалённая от его сторон. Тогда \(O\) лежит на биссектрисе этого угла (это можно показать через равенство треугольников \(AOC\) и \(BOC\)).

В данной задаче \(\angle OCB = 40^{\circ}\), тогда \(\angle ACB = 2\cdot \angle OCB = 2\cdot 40^{\circ} = 80^{\circ}\).

Ответ: 80

Задание 21 #6005

\(AC\) – диаметр окружности с центром в точке \(O\). Найдите \(\angle ABC\), если \(B\) лежит на окружности. Ответ дайте в градусах


 

\(\angle ABC\) – вписанный. Вписанный угол в два раза меньше градусной меры дуги, на которую он опирается.
Градусная мера дуги есть градусная мера центрального угла, который на неё опирается, тогда градусная мера дуги \(AC\) равна \(180^{\circ}\) и \(\angle ABC = 90^{\circ}\).

Ответ: 90