Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

17. Окружность

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Теоремы, связанными с углами (страница 3)

Задание 15 #5999

Найдите угол \(ACB\), если вписанные углы \(ADB\) и \(DAE\) опираются на дуги окружности, градусные меры которых равны соответственно \(118^\circ\) и \(38^\circ\). Ответ дайте в градусах.

Так как угол между двумя секущими, проведенными из одной точки вне окружности, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то \(\angle ACB=0,5(118^\circ-38^\circ)=40^\circ\).

Ответ: 40

Задание 16 #6000

Угол \(ACB\) равен \(42^\circ\). Градусная мера дуги \(AB\) окружности, не содержащей точки \(D\) и \(E\), равна \(124^\circ\). Найдите угол \(DAE\). Ответ дайте в градусах.



Так как угол между двумя секущими, проведенными из одной точки вне окружности, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то \(\angle ACB=0,5(\buildrel\smile\over{AKB}-\buildrel\smile\over{DNE})=42^\circ\). Так как \(\buildrel\smile\over{AKB}=124^\circ\), то \(\buildrel\smile\over{DNE}=124^\circ-2\cdot 42^\circ=40^\circ\). Тогда \(\angle DAE\), как вписанный и опирающийся на дугу \(\buildrel\smile\over{DNE}\), равен ее половине, то есть \(20^\circ\).

Ответ: 20

Задание 17 #6001

Прямая \(b\) касается окружности в точке \(B\) и образует с хордой \(AB\) угол, равный \(55^{\circ}\). Найдите градусную меру дуги \(AB\), которая меньше полуокружности. Ответ дайте в градусах.


 

Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги окружности, заключённой внутри него, следовательно градусная мера искомой дуги равна \(2\cdot 55^{\circ} = 110^{\circ}\).

Ответ: 110

Задание 18 #6002

Точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(D\) угла \(AOB\) лежат на окружности. Дуга \(AB\), заключённая внутри этого угла, равна \(65^{\circ}\), а дуга \(CD\), заключённая внутри этого угла, равна \(22^{\circ}\). Найдите величину угла \(AOB\). Ответ дайте в градусах.


 

\(\angle AOB\) равен полуразности дуг \(AB\) и \(CD\), заключённых внутри него, тогда \[\angle BOD = 0,5(\buildrel\over{ AB} - \buildrel\over{ CD}) = 0,5(65^{\circ} - 22^{\circ}) = 21,5^{\circ}.\]

Ответ: 21,5

Задание 19 #6003

Хорды \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O'\). Дуга \(AB\), заключённая внутри угла \(AO'B\), равна \(60^{\circ}\), а дуга \(CD\), заключённая внутри угла \(CO'D\), равна \(16^{\circ}\). Найдите \(\angle AO'B\). Ответ дайте в градусах.

Угол между хордами окружности равен полусумме градусных мер дуг, заключённых внутри него и вертикального ему. Покажем это подробнее:
Соединим точки \(A\) и \(D\).


 

\(\angle AO'B\) – внешний в треугольнике \(AO'D\), тогда \(\angle AO'B = \angle CAD + \angle ADB = 0,5\cdot \buildrel\over{CD} + 0,5\cdot \buildrel\over{AB} = 0,5(\buildrel\over{CD} + \buildrel\over{AB})\).

В данной задаче \(\angle AO'B = 0,5(\buildrel\over{CD} + \buildrel\over{AB}) = 0,5 (16^{\circ} + 60^{\circ}) = 38^{\circ}\).

Ответ: 38

Задание 20 #6004

\(AC\) и \(BC\) касаются окружности с центром \(O\). \(\angle OCB = 40^{\circ}\). Найдите \(\angle ACB\). Ответ дайте в градусах.

\(OC\) – биссектриса \(\angle ACB\). Покажем это:
Построим радиусы \(OA\) и \(OB\).



Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, следовательно
\(O\) – точка внутри угла \(ACB\), равноудалённая от его сторон. Тогда \(O\) лежит на биссектрисе этого угла (это можно показать через равенство треугольников \(AOC\) и \(BOC\)).

В данной задаче \(\angle OCB = 40^{\circ}\), тогда \(\angle ACB = 2\cdot \angle OCB = 2\cdot 40^{\circ} = 80^{\circ}\).

Ответ: 80

Задание 21 #6005

\(AC\) – диаметр окружности с центром в точке \(O\). Найдите \(\angle ABC\), если \(B\) лежит на окружности. Ответ дайте в градусах


 

\(\angle ABC\) – вписанный. Вписанный угол в два раза меньше градусной меры дуги, на которую он опирается.
Градусная мера дуги есть градусная мера центрального угла, который на неё опирается, тогда градусная мера дуги \(AC\) равна \(180^{\circ}\) и \(\angle ABC = 90^{\circ}\).

Ответ: 90