Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Темы отсутствуют
Кликните, чтобы открыть меню

17. Окружность

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Вписанная окружность (страница 3)

Задание 15 #6034

Около окружности, радиус которой равен \(3\), описан многоугольник, периметр которого равен \(20\). Найдите его площадь.

Так как для любого многоугольника, в который можно вписать окружность, верно \(S=p\cdot r\), где \(p\) – полупериметр, а \(r\) – радиус вписанной окружности, то \[S=\dfrac{20}2\cdot 3=30\]

Ответ: 30

Задание 16 #6035

Сторона правильного треугольника равна \(\sqrt3\). Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

1 способ.
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Так как треугольник правильный, то его биссектрисы также являются высотами и медианами. Пусть \(H\) – точка касания окружности со стороной \(AB\) (то есть \(OH\) – радиус). Следовательно, \(OH\perp AB\) (как часть высоты) и \(OH=\frac13CH\) (как часть медианы, так как медианы точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\), считая от вершины).



Если \(AC=2x=\sqrt3\), то \(AH=x\), следовательно, \(CH=\sqrt{4x^2-x^2}=x\sqrt3\), тогда \[OH=\dfrac13\cdot CH=\dfrac13\cdot \sqrt3\cdot \dfrac{\sqrt3}2=0,5\]

2 способ.
Площадь правильного треугольника со стороной \(a\) равна \(S=\dfrac{\sqrt3}4a^2\). Тогда по формуле \(S=p\cdot r\), где \(p\) – полупериметр, \(r\) – радиус вписанной окружности, имеем: \[r=\dfrac Sp=\dfrac{\frac{\sqrt3}4\cdot (\sqrt3)^2}{0,5(\sqrt3+\sqrt3+\sqrt3)} =0,5\]

Ответ: 0,5

Задание 17 #6036

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен \(\dfrac{\sqrt3}6\). Найдите сторону этого треугольника.

1 способ.
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Так как треугольник правильный, то его биссектрисы также являются высотами и медианами. Пусть \(H\) – точка касания окружности со стороной \(AB\) (то есть \(OH\) – радиус). Следовательно, \(OH\perp AB\) (как часть высоты) и \(OH=\frac13CH\) (как часть медианы, так как медианы точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\), считая от вершины).



Если \(AC=2x\), то \(AH=x\), следовательно, \(CH=\sqrt{4x^2-x^2}=x\sqrt3\), тогда \[\dfrac{\sqrt3}6=OH=\dfrac13\cdot CH=\dfrac{\sqrt3}3x\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac12\quad\Rightarrow\quad AC=2x=1\]

2 способ.
Площадь правильного треугольника со стороной \(a\) равна \(S=\dfrac{\sqrt3}4a^2\). Тогда по формуле \(S=p\cdot r\), где \(p\) – полупериметр, \(r\) – радиус вписанной окружности, имеем: \[\dfrac{\sqrt3}4a^2=\dfrac{3a}2\cdot r\quad\Rightarrow\quad a=2\sqrt3r=1\]

Ответ: 1

Задание 18 #6037

Сторона ромба равна \(1\), острый угол равен \(30^\circ\). Найдите радиус окружности, вписанной в этот ромб.

Для любого многоугольника, в который можно вписать окружность, верно \(S=p\cdot r\), где \(p\) – полупериметр, а \(r\) – радиус вписанной окружности.
\(S_{\text{ромб}}=S=a^2\cdot \sin\alpha\), где \(a\) – сторона ромба, \(\alpha\) – его угол. Следовательно, \(S=1^2\cdot \frac12=\frac12\). Полупериметр ромба равен \(2\). Тогда \[r=\dfrac Sp=0,25\]

Ответ: 0,25

Задание 19 #6038

Острый угол ромба равен \(30^\circ\), радиус вписанной в этот ромб окружности равен \(2\). Найдите сторону ромба.

Для любого многоугольника, в который можно вписать окружность, верно \(S=p\cdot r\), где \(p\) – полупериметр, а \(r\) – радиус вписанной окружности.
\(S_{\text{ромб}}=S=a^2\cdot \sin\alpha\), где \(a\) – сторона ромба, \(\alpha\) – его угол. Следовательно, \(S=a^2\cdot \frac12=\frac12a^2\). Полупериметр ромба равен \(2a\). Тогда \[\dfrac12a^2=2a\cdot 2\quad\Rightarrow\quad a=8\]

Ответ: 8

Задание 20 #6039

Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен \(\sqrt3\).

Для любого многоугольника, в который можно вписать окружность, верно \(S=p\cdot r\), где \(p\) – полупериметр, а \(r\) – радиус вписанной окружности.
Площадь правильного шестиугольника со стороной \(a\) равна \(S=\dfrac{3\sqrt3}2a^2\), полупериметр равен \(3a\), тогда \[\dfrac{3\sqrt3}2a^2=3a\cdot \sqrt3\quad\Rightarrow\quad a=2\]

Ответ: 2

Задание 21 #6040

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны \(9\) и \(12\). Найдите среднюю линию трапеции.

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны. Следовательно, сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то есть равна \(9+12=21\). Так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то ответ: \(21:2=10,5\).

Ответ: 10,5