11. Числовые последовательности
Дана арифметическая прогрессия 8; 3; -2 ... . Найдите сумму первых 13 членов прогрессии.
Найдем разность этой прогрессии \(d=3-8=-5\).
Значит, \(S_{13}=\frac{2a_1-12 \cdot d}{2} \cdot 13\).
\[S_{13}=\frac{2 \cdot 8 - 12 \cdot 5}{2} \cdot 13 = -286.\]
Ответ: -286
Дана арифметическая прогрессия 4,2; 2,4; 0,6 ... . Какое число стоит на 20 месте?
Найдем разность этой прогрессии \(d=2,4-4,2=-1,8\).
Значит, \(a_{20}= a_1 - 19d = 4,2 - 19 \cdot 1,8 = -30\).
Ответ: -30
Арифметическая прогрессия \((a_n)\) задана условием \(a_n = -3,7 - 5,5n\).
Найдите сумму первых 20 членов прогрессии.
Из формулы следует, что \(a_1=-3,7-5,5=-9,2\) \(\,\) и \(\,\) \(a_{20}=-3,7 - 5,5 \cdot 20=-113,7\).
Воспользуемся формулой суммы первых \(n\) членов прогрессии \(S_n=\frac{a_1+a_n}{2} \cdot n\).
\[\begin{aligned} S_{20} = \frac{-9,2-113,7}{2} \cdot 20,\\ S_{13} = \frac{-122,9}{2} \cdot 20,\\ S_{13} = -1229. \end{aligned}\]
Ответ: -1229
Арифметическая прогрессия \((a_n)\) задана условием \(a_n = 5,6 + 4,4n\).
Найдите \(a_{15}\).
Из формулы следует, что \(a_{15}=5,6+4,4 \cdot 15\) или \(a_{15}=71,6\).
Ответ: 71,6
Дана арифметическая прогрессия \((a_n)\), разность которой равна -3,8, а \(a_1=25,6\).
Найдите сумму первых 13 ее членов.
Воспользуемся формулой суммы первых \(n\) членов прогрессии \(S_n=\frac{2a_1+(n-1) \cdot d}{2}n\), где \(d\) — разность арифметической прогрессии.
\[\begin{aligned} S_{13} = \frac{2 \cdot 25,6 + 12 \cdot (-3,8)}{2} \cdot 13,\\ S_{13} = \frac{5,6}{2} \cdot 13,\\ S_{13} = 36,4. \end{aligned}\]
Ответ: 36,4
Дана арифметическая прогрессия \((a_n)\), разность которой равна \(-5,3\), а \(a_1=-7,7\). Найдите \(a_7\).
Так как для арифметической прогрессии верна формула \(a_n=a_1+(n-1)d\), где \(d\) – разность, то \[a_7=a_1+6d=-7,7+6\cdot (-5,3)=-39,5\]
(Для решения этой задачи достаточно знать, что такое арифметическая прогрессия – последовательность, где каждый следующий член на \(d\) (разность) больше, чем предыдущий. Тогда можно найти \(a_2=a_1+d=-7,7-5,3=-13\), \(a_3=a_2+d=-13-5,3\) и т.д. Но это слишком долго.)
Ответ: -39,5
В арифметической прогрессии \((a_n)\) \(a_1=-24\), \(a_{13}=96\). Найдите разность арифметической прогрессии.
Из основной формулы для арифметической прогрессии \(a_n=a_1+(n-1)d\) следует, что \[a_{13}=a_1+12d\quad\Rightarrow\quad d=\dfrac{a_{13}-a_1}{12}=\dfrac{96-(-24)}{12}=10\]
Ответ: 10
