Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Кликните, чтобы открыть меню

6. Решение простейших уравнений и систем уравнений

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Квадратные уравнения (страница 3)

Задание 15 #8635

Найдите корень уравнения \(5x^2+20x=0\). Если уравнение имеет больше одного корня, найдите меньший из них.

ОДЗ — любой \(x\). Решим на ОДЗ.

Способ 1.

Приведем уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\). Тогда \(a=5, b=20, c=0\).

Найдем дискриминант уравнения \(D=b^2-4ac= 400=20^2\).

Тогда \(x=\frac{-20+20}{10}=0\) или \(\frac{-20-20}{10}=-4\).

Наименьшим является корень \(-4\).

Способ 2.

Вынесем за скобки общий множитель \(5x\). Произведение равно 0, если хотя бы один из множителей равен 0.

\(5x(x+4)=0\),

\(x=0\) или \(x=-4\).

Наименьшим является корень \(-4\).

Ответ: -4

Задание 16 #8636

Найдите корень уравнения \(24x=6x^2\). Если уравнение имеет больше одного корня, найдите меньший из них.

ОДЗ — любой \(x\). Решим на ОДЗ.

Способ 1.

Приведем уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\). Для этого перенесем все слагаемые в одну сторону равенства. Учтем, что при переносе через знак равенства плюс меняется на минус и наоборот. Тогда \(a=6, b=-24, c=0\).

Найдем дискриминант уравнения \(D=b^2-4ac= 24^2\).

Тогда \(x=\frac{24-24}{12}=0\) или \(\frac{24+24}{12}=4\).

Меньшим является корень \(0\).

Способ 2.

Перенесем все слагаемые в одну сторону равенства. Вынесем за скобки общий множитель \(6x\). Произведение равно 0, если хотя бы один из множителей равен 0.

\(6x^2-24x=0\),

\(6x(x-4)=0\),

\(x=0\) или \(x=4\).

Наименьшим является корень \(0\).

Ответ: 0

Задание 17 #8637

Найдите корень уравнения \(\frac{2}{5}x^2 - \frac{5}{2}=0\). Если уравнение имеет больше одного корня, найдите больший из них.

ОДЗ — любой \(x\). Решим на ОДЗ.

Способ 1.

Приведем уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\). Тогда \(a=\frac{2}{5}, b=0, c=- \frac{5}{2}\).

Найдем дискриминант уравнения \(D=-4 \cdot \frac{2}{5} \cdot (- \frac{5}{2}) = 4 = 2^2\).

Тогда \(x=\frac{0+2}{2 \cdot \frac{2}{5}}=2,5\) или \(\frac{0-2}{2 \cdot \frac{2}{5}}=-2,5\).

Большим является корень \(2,5\).

Способ 2.

Перенесем слагаемые без переменной в правую часть равенства, изменив их знак на противоположный. Разделим обе части равенства на \(\frac{2}{5}\).

\(\frac{2}{5}x^2 = \frac{5}{2}\),

\(x^2 = \frac{25}{4}\),

\(x=\frac{5}{2}\) или \(x=-\frac{5}{2}\).

Большим является корень \(\frac{5}{2} = 2,5\).

Ответ: 2,5

Задание 18 #8638

Найдите корень уравнения \(9-25x^2=0\). Если уравнение имеет больше одного корня, найдите меньший из них.

ОДЗ — любой \(x\). Решим на ОДЗ.

Способ 1.

Приведем уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\). Тогда \(a=-25, b=0, c=9\).

Найдем дискриминант уравнения \(D=-4 \cdot (-25) \cdot 9 = 900 = 30^2\).

Тогда \(x=\frac{0+30}{-2 \cdot 25}=-0,6\) или \(\frac{0-30}{-2 \cdot 25}=0,6\).

Меньшим является корень \(-0,6\).

Способ 2.

Перенесем слагаемые с переменной в правую часть равенства, изменив их знак на противоположный. Разделим обе части равенства на коэффициент при старшем члене \(25\).

\(25x^2 = 9\),

\(x^2 = \frac{9}{25}\),

\(x=\frac{3}{5}\) или \(x=-\frac{3}{5}\).

Меньшим является корень \(-\frac{3}{5} = -0,6\).

Ответ: -0,6

Задание 19 #8639

Найдите корень уравнения \(x-30+x^2=0\). Если уравнение имеет больше одного корня, найдите их произведение.

ОДЗ — любой \(x\). Решим на ОДЗ.

Способ 1.

Приведем уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\). Тогда \(a=1, b=1, c=-30\).

Найдем дискриминант уравнения \(D=b^2-4ac=1+120=11^2\).

Тогда \(x=\frac{-1+11}{2}=5\) или \(\frac{-1-11}{2}=-6\).

Произведение корней равно \(-30\).

Способ 2

По теореме Виета, произведение корней квадратного уравнения равно частному от деления свободного члена уравнения на коэффициент при старшем члене, то есть \(\frac{-30}{1}=-30\).

Ответ: -30

Задание 20 #8640

Найдите корень уравнения \(12=7x-x^2\). Если уравнение имеет больше одного корня, найдите их сумму.

ОДЗ — любой \(x\). Решим на ОДЗ.

Способ 1.

Приведем уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\). Для этого перенесем слагаемые из правой части равенства в левую, изменив их знак на противоположный. Тогда \(a=1, b=-7, c=12\).

Найдем дискриминант уравнения \(D=b^2-4ac=49-48=1^2\).

Тогда \(x=\frac{7+1}{2}=4\) или \(\frac{7-1}{2}=3\).

Сумма корней равна \(7\).

Способ 2

По теореме Виета, сумма корней квадратного уравнения равна частному от деления коэффициента при \(x\) на коэффициент при \(x^2\), взятому с противоположным знаком, то есть \(-\frac{-7}{1}=7\).

Ответ: 7

Задание 21 #8386

Решите уравнение \((x^2 - 25)^2 + (x^2 - 14x + 45)^2 = 0\).

Левая часть уравнения является суммой двух квадратов. Квадрат — неотрицательный, а значит, сумма двух квадратов может равняться нулю тогда и только тогда, когда каждый из квадратов равен нулю. Таким образом, мы переходим к системе уравнений: \[\begin{cases} (x^2 - 25)^2 = 0; \\ (x^2 - 14x + 45)^2 = 0. \end{cases} \quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases} x^2 - 5^2 = 0; \\ x^2 - 14x + 45 = 0. \end{cases} \quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases} (x - 5)(x + 5) = 0; \\ (x - 5)(x - 9) = 0. \end{cases} \quad \Leftrightarrow\quad\] \[\quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases} \left[\begin{gathered} x = 5;\\x = - 5; \end{gathered}\right. \\\\ \left[\begin{gathered} x = 5;\\x = 9. \end{gathered}\right. \end{cases} \quad \Leftrightarrow\quad x = 5.\]

Квадрат выражения равен нулю тогда и только тогда, когда само выражение равно нулю, поэтому в первом переходе в каждом уравнении можно избавиться от степени в левой части. Во втором переходе в первом уравнении была использована формула разности квадратов, а во второй — теорема Виета.

Ответ: 5