Т.к. \(D=57-4\cdot 2\cdot 7=1>0\), то уравнение имеет корни.
1 способ.
Пусть \(a\) и \(b\) – корни уравнения. Тогда \(a+b=-\dfrac{\sqrt{57}}2\), \(ab=\dfrac72\). \[a^2+b^2=a^2+2ab+b^2-2ab=(a+b)^2-2ab \quad\Rightarrow\quad a^2+b^2=
\left(-\dfrac{\sqrt{57}}2\right)^2-2\cdot
\dfrac72=\dfrac{57}4-7=7,25.\]
2 способ.
Корни уравнения \[x_1=\dfrac{-\sqrt{57}-1}4\qquad\text{и}\qquad
x_2=\dfrac{-\sqrt{57}+1}4\] Тогда \[\begin{aligned} &x_1^2=
\left(\dfrac{-\sqrt{57}-1}4\right)^2=\dfrac{57+2\sqrt{57}+1}{16}\\[2ex]
&x_2^2=\left(\dfrac{-\sqrt{57}+1}4\right)^2=\dfrac{57-2\sqrt{57}+1}{16}\\[2ex]
&\Rightarrow \quad
x_1^2+x_2^2=\dfrac{57+2\sqrt{57}+1}{16}+\dfrac{57-2\sqrt{57}+1}{16}=7,25.
\end{aligned}\]
Заметим, что первый способ вычислительно проще.
Ответ: 7,25