Математика ЕГЭ
Русский язык ЕГЭ
Математика 5-7
Математика ОГЭ
Информатика
Физика
Обществознание
Темы отсутствуют
Кликните, чтобы открыть меню

18. Площади геометрических фигур

1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения

Площадь треугольника (страница 4)

Задание 22 #6166

В треугольнике \(ABC\): точки \(D\) и \(E\) лежат на \(AB\), причём \(\dfrac{AD + BE}{AB} = \dfrac{2}{3}\). Площадь треугольника \(ACD\) равна \(10\), \(\dfrac{S_{CEB}}{S_{CED}} = \dfrac{6}{5}\). Найдите площадь треугольника \(ABC\).

Пусть \(h\) – длина высоты, опущенной из точки \(C\) на \(AB\), тогда \(S_{ABC} = 0,5\cdot AB\cdot h\).   \(S_{CEB} = 0,5\cdot EB\cdot h\), \(S_{CED} = 0,5\cdot DE\cdot h\), откуда \(\dfrac{6}{5} = \dfrac{S_{CEB}}{S_{CED}} = \dfrac{0,5\cdot EB\cdot h}{0,5\cdot DE\cdot h} = \dfrac{EB}{DE}\), но \(DE = AB - (AD + BE) = AB - \dfrac{2}{3}\cdot AB = \dfrac{1}{3}\cdot AB\), откуда \(EB = \dfrac{6}{5}\cdot \dfrac{1}{3}\cdot AB = \dfrac{2}{5}\cdot AB\), тогда \(AD = AB - (DE + EB) = AB - \dfrac{1}{3}\cdot AB - \dfrac{2}{5}\cdot AB = \dfrac{4}{15}\cdot AB\).
\(10 = S_{ACD} = 0,5\cdot AD\cdot h = 0,5\cdot \dfrac{4}{15}\cdot AB\cdot h = \dfrac{4}{15}\cdot S_{ABC}\), откуда \(S_{ABC} = 10\cdot\dfrac{15}{4} = 37,5\).

Ответ: 37,5

Задание 23 #6167

В треугольнике \(ABC\): \(AC = 4\), \(AB = 6\), \(\cos{\angle BAC} = \dfrac{\sqrt{15}}{4}\). Найдите площадь треугольника \(ABC\).


 

Из основного тригонометрического тождества:
\(\sin^2\angle BAC = 1 - \dfrac{15}{16}\), тогда \(\sin\angle BAC = \pm 0,25\). Так как \(\angle BAC \in (0^{\circ}; 180^{\circ})\), то \(\sin\angle BAC = 0,25\).

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними,
тогда площадь треугольника \(ABC\) равна \(0,5\cdot 4 \cdot 6 \cdot 0,25 = 3\).

Ответ: 3

Задание 24 #6168

В треугольнике \(ABC\): \(AD\) – высота, \(\cos{\angle DAC} = 0,7\), \(AC = 6\), \(BC = 9\). Найдите площадь треугольника \(ABC\).


 

Так как \(AD\) перпендикулярна \(DC\), то \(\sin{\angle C} = \cos{\angle DAC} = 0,7\).

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними,
тогда площадь треугольника \(ABC\) равна \(0,5\cdot 6 \cdot 9 \cdot 0,7 = 18,9\).

Ответ: 18,9

Задание 25 #6169

Периметр треугольника \(ABC\) равен \(250\), одна из его сторон равна \(120\), ещё одна сторона равна \(17\). Найдите его площадь.


 

Третья сторона треугольника равна \(250 - 120 - 17 = 113\).
По формуле Герона \(S_{\triangle ABC} = \sqrt{p(p - AB)(p - BC)(p - AC)}\), где \(p\) – полупериметр треугольника \(ABC\).

Для данного треугольника

 

\(S_{\triangle ABC} = \sqrt{125\cdot (125 - 120)\cdot (125 - 17)\cdot (125 - 113)} = \sqrt{125\cdot 5 \cdot 12 \cdot 108} =\)

 

\(= 25\sqrt{12\cdot 108} = 100\sqrt{3\cdot 27} = 900.\)

Ответ: 900

Задание 26 #6170

Сторона \(AB\) треугольника \(ABC\) равна \(2\), его периметр \(P = 9\), а его площадь равна \(\dfrac{\sqrt{135}}{4}\), причём \(AC\cdot BC = 12\). Найдите \(BC + AC\).


 

По формуле Герона \(S_{\triangle ABC} = \sqrt{p(p - AB)(p - BC)(p - AC)}\), где \(p\) – полупериметр треугольника \(ABC\), \(p = 4,5\),
тогда \(S_{\triangle ABC}^2 = p(p - AB)(p - BC)(p - AC)\), тогда \(\dfrac{S_{\triangle ABC}^2}{p(p - AB)} = (p - BC)(p - AC) = p^2 - p(AC + BC) + AC\cdot BC\), откуда

 

\(\dfrac{\frac{135}{16}}{4,5\cdot 2,5} = \dfrac{81}{4} - \dfrac{9}{2}(AC + BC) + 12\qquad\Rightarrow\qquad \dfrac{135}{16} \cdot\dfrac{4}{45} = \dfrac{81}{4} - \dfrac{9}{2}(AC + BC) + 12\qquad\Rightarrow\)

 

\(\Rightarrow\qquad \dfrac{39}{2} = \dfrac{9}{2}(AC + BC) - 12 \qquad\Rightarrow\qquad AC + BC = 7.\)

Ответ: 7

Задание 27 #6171

Точки \(P\) и \(Q\) – середины сторон \(AB\) и \(AC\) треугольника \(ABC\) соответственно. Найдите периметр треугольника \(ABC\), если периметр треугольника \(APQ\) равен \(21\).


 

Т.к. \(PQ\) – средняя линия \(\triangle ABC\), то \(2PQ=BC\). Периметр \(\triangle ABC\): \[P_{ABC}=AB+AC+BC=2AP+2AQ+2PQ=2(AP+AQ+PQ)=2\cdot P_{APQ}=2\cdot 21=42.\]

Ответ: 42

Задание 28 #6172

В треугольнике \(ABC\) даны три стороны: \(AB=26, BC=30, AC=28\). Найдите площадь треугольника, заключенного между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины \(B\).


 

Пусть \(BP\) и \(BQ\) - высота и биссектриса данного треугольника \(ABC\) соответственно. По формуле Герона:

\[S_{ABC} = \sqrt{42\cdot(42 - 30)(42 - 28)(42 - 26)}=14\cdot6\cdot4 = 336.\]

Запишем формулу площади треугольника \(ABC\) через высоту: \(S_{ABC} = \dfrac{AC\cdot BP}2\). Тогда

\[BP = \dfrac{2\cdot S_{ABC}}{AC} = \dfrac{2\cdot 336}{28} = 24.\]

Из свойства биссектрисы треугольника: \(\dfrac{AQ}{QC} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{13}{15}.\)

 

Поэтому: \(AQ = \dfrac{13}{28}\cdot AC =13.\)

 

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника \(APB\):

\[AP = \sqrt{AB^2-BP^2} = \sqrt{26^2-24^2} = 10.\]

Слeдовательно, \(PQ = AQ - AP = 13-10=3, S_{BPQ} = \dfrac{1}2 \cdot PQ \cdot BP = \dfrac{3\cdot 24}2 = 36.\)

Ответ: 36